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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 28. Lösung einiger Hülfsaufgaben.

Auf das Gespann desselben sind auch die beiden Probleme:
x ; a y resp. a ; y x
mittelst Umformung in resp.:
x ; yn an, xn ; y an
auf das Leichteste zurückführbar.

Aufgabe 120). Nach x und y die Subsumtion aufzulösen:
14) ax ; y,
d. i. das "zweite Inversionsproblem mit zwei Unbekannten".

Eine befriedigende "symmetrisch allgemeine" Lösung fand ich
gegeben durch:
15) [Formel 1] .

Da unsre Proposition mit a(xn j yn) = 0 zusammenfällt, so ist in der That
auf den ersten Blick ersichtlich, dass die Probe 2 stimmt, nämlich für ein
jedes Wurzelpaar x, y die beiden Gleichungen rechts für u = x, v = y
erfüllt sein werden. Dass auch die Probe 1 stimmt, ist so zu sehen.
Wenn zur Abkürzung u ; v = c, also un j vn = cn genannt wird, so haben wir:
x ; y = c + u ; 1 ; acn + acn ; 1 ; v + acn ; 1 ; acn,
und der Nachweis, dass bei beliebigem u, v stets a x ; y sein müsse,
läuft darauf hinaus zu zeigen, dass acn der Summe der drei letzten
Glieder in x ; y sei. Wird acn = b genannt, so ist aber b in der That
schon dem letzten dieser Glieder, indem b b ; 1 ; b aus b b ; 1 und
b 1 ; b wegen b ; 1 · 1 ; b = b ; 1 ; b folgt, q. e. d.

Das hiermit gelöste Problem wird uns vorwiegend für den Fall a = 1'
von Interesse werden.

Welche von den drei Buchstabenrelativen a, x, y aber auch gegeben
sein mögen, so können wir jetzt immer die allgemeine Lösung vollständig
angeben.

Sind x und y (ad libitum) gegeben, so wird blos a = a · x ; y zu
nehmen sein, wo a beliebig. a und x, sowie a und y können nicht be-
liebig angenommen werden, sondern müssen der Resultante a x ; 1 resp.
a 1 ; y genügen, was bei gegebnem x resp. y durch a = x ; 1 · a resp.
a = a · 1 ; y geschieht, bei gegebnem a aber durch:
x = u + a(un j 0), y = v + a(0 j vn)
nach 25) des § 18. Hernach wird nach 10) des § 18 sein:
y = v + x ; (xn j vn)a, resp. x = u + a(un j yn) ; y,
und nach einigen Umformungen lassen sich diese beiden Werte auch leid-
lich einfach durch u und v ausdrücken wie folgt:
y = v + u ; a(un j vn) + a ; a(un j 0)(an j vn), x = u + a(un j vn) ; v + a(0 j vn)(un j an) ; a.

Die Umformungen wollen wir für den letzteren in extenso darlegen.
Man hat:

§ 28. Lösung einiger Hülfsaufgaben.

Auf das Gespann desselben sind auch die beiden Probleme:
x ; a ⋹ y resp. a ; y ⋹ x
mittelst Umformung in resp.:
x ; ȳ̆ ⋹ ā̆, x̄ ; y̆ ⋹ ā
auf das Leichteste zurückführbar.

Aufgabe 120). Nach x und y die Subsumtion aufzulösen:
14) a⋹x ; y,
d. i. das „zweite Inversionsproblem mit zwei Unbekannten“.

Eine befriedigende „symmetrisch allgemeine“ Lösung fand ich
gegeben durch:
15) [Formel 1] .

Da unsre Proposition mit a(x̄ ɟ ȳ) = 0 zusammenfällt, so ist in der That
auf den ersten Blick ersichtlich, dass die Probe 2 stimmt, nämlich für ein
jedes Wurzelpaar x, y die beiden Gleichungen rechts für u = x, v = y
erfüllt sein werden. Dass auch die Probe 1 stimmt, ist so zu sehen.
Wenn zur Abkürzung u ; v = c, also ū ɟ v̄ = c̄ genannt wird, so haben wir:
x ; y = c + u ; 1 ; ac̄ + ac̄ ; 1 ; v + ac̄ ; 1 ; ac̄,
und der Nachweis, dass bei beliebigem u, v stets a ⋹ x ; y sein müsse,
läuft darauf hinaus zu zeigen, dass ac̄ ⋹ der Summe der drei letzten
Glieder in x ; y sei. Wird ac̄ = b genannt, so ist aber b in der That
schon ⋹ dem letzten dieser Glieder, indem b ⋹ b ; 1 ; b aus b ⋹ b ; 1 und
b ⋹ 1 ; b wegen b ; 1 · 1 ; b = b ; 1 ; b folgt, q. e. d.

Das hiermit gelöste Problem wird uns vorwiegend für den Fall a = 1'
von Interesse werden.

Welche von den drei Buchstabenrelativen a, x, y aber auch gegeben
sein mögen, so können wir jetzt immer die allgemeine Lösung vollständig
angeben.

Sind x und y (ad libitum) gegeben, so wird blos a = α · x ; y zu
nehmen sein, wo α beliebig. a und x, sowie a und y können nicht be-
liebig angenommen werden, sondern müssen der Resultante a ⋹ x ; 1 resp.
a ⋹ 1 ; y genügen, was bei gegebnem x resp. y durch a = x ; 1 · α resp.
a = α · 1 ; y geschieht, bei gegebnem a aber durch:
x = u + a(ū ɟ 0), y = v + a(0 ɟ v̄)
nach 25) des § 18. Hernach wird nach 10) des § 18 sein:
y = v + x̆ ; (x̄ ɟ v̄)a, resp. x = u + a(ū ɟ ȳ) ; y̆,
und nach einigen Umformungen lassen sich diese beiden Werte auch leid-
lich einfach durch u und v ausdrücken wie folgt:
y = v + ŭ ; a(ū ɟ v̄) + ă ; a(ū ɟ 0)(ā ɟ v̄), x = u + a(ū ɟ v̄) ; v̆ + a(0 ɟ v̄)(ū ɟ ā) ; ă.

Die Umformungen wollen wir für den letzteren in extenso darlegen.
Man hat:

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[477/0491] § 28. Lösung einiger Hülfsaufgaben. Auf das Gespann desselben sind auch die beiden Probleme: x ; a ⋹ y resp. a ; y ⋹ x mittelst Umformung in resp.: x ; ȳ̆ ⋹ ā̆, x̄ ; y̆ ⋹ ā auf das Leichteste zurückführbar. Aufgabe 120). Nach x und y die Subsumtion aufzulösen: 14) a⋹x ; y, d. i. das „zweite Inversionsproblem mit zwei Unbekannten“. Eine befriedigende „symmetrisch allgemeine“ Lösung fand ich gegeben durch: 15) [FORMEL]. Da unsre Proposition mit a(x̄ ɟ ȳ) = 0 zusammenfällt, so ist in der That auf den ersten Blick ersichtlich, dass die Probe 2 stimmt, nämlich für ein jedes Wurzelpaar x, y die beiden Gleichungen rechts für u = x, v = y erfüllt sein werden. Dass auch die Probe 1 stimmt, ist so zu sehen. Wenn zur Abkürzung u ; v = c, also ū ɟ v̄ = c̄ genannt wird, so haben wir: x ; y = c + u ; 1 ; ac̄ + ac̄ ; 1 ; v + ac̄ ; 1 ; ac̄, und der Nachweis, dass bei beliebigem u, v stets a ⋹ x ; y sein müsse, läuft darauf hinaus zu zeigen, dass ac̄ ⋹ der Summe der drei letzten Glieder in x ; y sei. Wird ac̄ = b genannt, so ist aber b in der That schon ⋹ dem letzten dieser Glieder, indem b ⋹ b ; 1 ; b aus b ⋹ b ; 1 und b ⋹ 1 ; b wegen b ; 1 · 1 ; b = b ; 1 ; b folgt, q. e. d. Das hiermit gelöste Problem wird uns vorwiegend für den Fall a = 1' von Interesse werden. Welche von den drei Buchstabenrelativen a, x, y aber auch gegeben sein mögen, so können wir jetzt immer die allgemeine Lösung vollständig angeben. Sind x und y (ad libitum) gegeben, so wird blos a = α · x ; y zu nehmen sein, wo α beliebig. a und x, sowie a und y können nicht be- liebig angenommen werden, sondern müssen der Resultante a ⋹ x ; 1 resp. a ⋹ 1 ; y genügen, was bei gegebnem x resp. y durch a = x ; 1 · α resp. a = α · 1 ; y geschieht, bei gegebnem a aber durch: x = u + a(ū ɟ 0), y = v + a(0 ɟ v̄) nach 25) des § 18. Hernach wird nach 10) des § 18 sein: y = v + x̆ ; (x̄ ɟ v̄)a, resp. x = u + a(ū ɟ ȳ) ; y̆, und nach einigen Umformungen lassen sich diese beiden Werte auch leid- lich einfach durch u und v ausdrücken wie folgt: y = v + ŭ ; a(ū ɟ v̄) + ă ; a(ū ɟ 0)(ā ɟ v̄), x = u + a(ū ɟ v̄) ; v̆ + a(0 ɟ v̄)(ū ɟ ā) ; ă. Die Umformungen wollen wir für den letzteren in extenso darlegen. Man hat:

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 477. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/491>, abgerufen am 23.11.2024.

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