Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 3. Letzte zwei Festsetzungen — über Σ, Π.

Den fundamentalen Festsetzungen könnten (was anfangs unter-
blieb) endlich noch diejenigen zugezählt werden, welche die Verwen-
dungsweise des Produkt- und Summenzeichens
Π und Σ
erklären und regeln.

Unter dem „laufenden Zeiger“ (d. i. der „Produktations“- resp. „Sum-
mations-Variabeln“) u stellen wir uns ein Relativsymbol vor, welchem
alle Werte aus einem bestimmten (als irgendwie gegeben zu denkenden)
Wertbereiche beigelegt werden sollen. Dieser Wertbereich heisst die
„Erstreckung“ des „nach u genommenen“ „Produktes Π“, resp. der
„Summe Σ“, und wird im allgemeinsten Falle eine wohldefinirte „Klasse“
von (binären) Relativen sein.

Unter dem „allgemeinen Term (Faktor resp. Summand)“ des Pro-
duktes [Formel 1] resp. der Summe [Formel 2] — welcher immer hinter diesem Zeichen
zu erblicken ist — stellen wir uns irgend eine „Funktion von u“, f(u)
vor, d. h. einen Ausdruck, welcher in irgendwie gegebner Weise ver-
mittelst lauter Operationen aus der Gruppe der sechs Spezies unsrer
Disziplin aufgebaut ist aus u selber und irgendwelchen andern Rela-
tiven a, b, c, …, x, y, …, deren Bedeutungen (Werte) aber, auch
wenn die Bedeutung von u (innerhalb jener Erstreckung) wechselt,
stets konstant festgehalten werden müssen. Diese letzteren Relative
heissen — im Gegensatz zum „Argument“ u — die „Parameter“ der
Funktion f(u), und können sowol als allgemeine Relative aufgefasst
werden, wie auch spezielle Werte haben, insbesondre können sie oder
einzelne von ihnen auch durch Moduln vertreten sein.

Alsdann wird die Funktion f(u) selbst ein binäres Relativ sein,
dessen Wert für jeden angenommenen Wert von u und fixirte Werte
der allgemeinen Buchstabenparameter ein völlig bestimmter sein muss
— aus dem Grunde, weil auch die Ergebnisse der den Ausdruck f(u) zu-
sammensetzenden, in ihm vorgeschrieben erscheinenden Operationen oder
Spezies durch unsre Festsetzungen als binäre Relative jeweils eindeutig
erklärt worden. In der That wird sich auch der allgemeine Koeffizient
zum Suffix ij dieses Relativs f(u) vermittelst kombinirter Anwendung
unsrer 6 Schemata (10) bis (13) durch die allgemeinen Koeffizienten
des Argumentes u und sämtlicher Parameter nach einem vollkommen
bestimmt vorgeschriebnen Verfahren als eine Aussagenfunktion der-
selben unschwer darstellen lassen. Mit f(u) zugleich kennen wir also
für jedes ij auch dessen Relativkoeffizienten {f(u)}_{i j}.

Es handelt sich nun darum auch die Symbole:

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