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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Elfte Vorlesung.

Ebenso ist bezüglich der dritten Resultante 3) leicht zu recht-
fertigen, dass sein muss:
6) [Formel 1] ,
wo die dritte Transformation sich aus dem ersten Inversionstheoreme
rechtfertigt, sonst aber nur Schemata des identischen Kalkuls an-
zuwenden waren. Darnach kann b beliebig angenommen werden, muss
aber a die Leerzeilen von b, in Vollkolonnen verkehrt, enthalten.

Ziehen wir nun unbekümmert um diese Einzelresultanten zunächst
in Peirce'scher Manier die von x freien Konklusionen, so haben wir
-- immer unter Anwendung der oben citirten Sätze -- folgende 10 Rech-
nungen. Es ist die Prämisse von

10) = (1' a j x)(1' xn j b) {1' (a j x) ; (xn j b) (a j x) ; xn j b
(a j x ; xn) j b (a j 0') j b = a j b} also (1' a j b).
20) = (1' a j x)(1' xn ; b) {1' (a j x) ; xn ; b (a j x ; xn) ; b
(a j 0') ; b = a ; b} also (1' a ; b).

Wir hätten hier auch schliessen können:
1' a j x ; xn ; b a j 0' ; b, also 1' a j 0' ; b.

Aber diese Resultante ist eine unmittelbare Folgerung aus der vorigen,
weil a ; b = (a j 0') ; b a j 0' ; b.

Dieselbe ist mithin minder umfassend oder wertvoll -- und ähnlich
verfällt man auch bei den folgenden Rechnungen leicht in die Gefahr,
weniger zu schliessen als sich schliessen lässt.

30) = (1' a j x)(1' xn ; c j b) [1' (a j x) ; (xn ; c j b) (a j x) ; xn ; c j b
(a j x ; xn) ; c j b (a j 0') ; c j b] also (1' a ; c j b).

Wir hätten hier auch schliessen können:
1' a j x ; xn ; c j b a j 0' ; c j b,
allein diese Resultante ist eine unmittelbare Folgerung aus der vorigen, weil:
a ; c j b = a ; 1' ; c j b = a ; (1' j 0') ; c j b a ; 1' j 0' ; c j b = a j 0' ; c j b
und hätte mithin geringere Tragweite.

40) = (1' a j x){1' (xn j c) ; b} {1' (a j x) ; (xn j c) ; b
(a j x ; xn j c) ; b (a j 0' j c) ; b} also {1' (a j c) ; b}.

Elfte Vorlesung.

Ebenso ist bezüglich der dritten Resultante 3) leicht zu recht-
fertigen, dass sein muss:
6) [Formel 1] ,
wo die dritte Transformation sich aus dem ersten Inversionstheoreme
rechtfertigt, sonst aber nur Schemata des identischen Kalkuls an-
zuwenden waren. Darnach kann b beliebig angenommen werden, muss
aber a die Leerzeilen von b, in Vollkolonnen verkehrt, enthalten.

Ziehen wir nun unbekümmert um diese Einzelresultanten zunächst
in Peirce’scher Manier die von x freien Konklusionen, so haben wir
— immer unter Anwendung der oben citirten Sätze — folgende 10 Rech-
nungen. Es ist die Prämisse von

10) = (1' ⋹ a ɟ x)(1' ⋹ x̄̆ ɟ b̆) ⋹ {1' ⋹ (a ɟ x) ; (x̄̆ ɟ b̆) ⋹ (a ɟ x) ; x̄̆ ɟ b̆ ⋹
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Wir hätten hier auch schliessen können:
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Aber diese Resultante ist eine unmittelbare Folgerung aus der vorigen,
weil a ; b̆ = (a ɟ 0') ; b̆ ⋹ a ɟ 0' ; b̆.

Dieselbe ist mithin minder umfassend oder wertvoll — und ähnlich
verfällt man auch bei den folgenden Rechnungen leicht in die Gefahr,
weniger zu schliessen als sich schliessen lässt.

30) = (1' ⋹ a ɟ x)(1' ⋹ x̄̆ ; c̆ ɟ b̆) ⋹ [1' ⋹ (a ɟ x) ; (x̄̆ ; c̆ ɟ b̆) ⋹ (a ɟ x) ; x̄̆ ; c̆ ɟ b̆ ⋹
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Wir hätten hier auch schliessen können:
1' ⋹ a ɟ x ; x̄̆ ; c̆ ɟ b̆ ⋹ a ɟ 0' ; c̆ ɟ b̆,
allein diese Resultante ist eine unmittelbare Folgerung aus der vorigen, weil:
a ; c̆ ɟ b̆ = a ; 1' ; c̆ ɟ b̆ = a ; (1' ɟ 0') ; c̆ ɟ b̆ ⋹ a ; 1' ɟ 0' ; c̆ ɟ b̆ = a ɟ 0' ; c̆ ɟ b̆
und hätte mithin geringere Tragweite.

40) = (1' ⋹ a ɟ x){1' ⋹ (x̄̆ ɟ c̆) ; b̆} ⋹ {1' ⋹ (a ɟ x) ; (x̄̆ ɟ c̆) ; b̆ ⋹
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[472/0486] Elfte Vorlesung. Ebenso ist bezüglich der dritten Resultante 3) leicht zu recht- fertigen, dass sein muss: 6) [FORMEL], wo die dritte Transformation sich aus dem ersten Inversionstheoreme rechtfertigt, sonst aber nur Schemata des identischen Kalkuls an- zuwenden waren. Darnach kann b beliebig angenommen werden, muss aber a die Leerzeilen von b, in Vollkolonnen verkehrt, enthalten. Ziehen wir nun unbekümmert um diese Einzelresultanten zunächst in Peirce’scher Manier die von x freien Konklusionen, so haben wir — immer unter Anwendung der oben citirten Sätze — folgende 10 Rech- nungen. Es ist die Prämisse von 10) = (1' ⋹ a ɟ x)(1' ⋹ x̄̆ ɟ b̆) ⋹ {1' ⋹ (a ɟ x) ; (x̄̆ ɟ b̆) ⋹ (a ɟ x) ; x̄̆ ɟ b̆ ⋹ ⋹ (a ɟ x ; x̄̆) ɟ b̆ ⋹ (a ɟ 0') ɟ b̆ = a ɟ b̆} also ⋹ (1' ⋹ a ɟ b̆). 20) = (1' ⋹ a ɟ x)(1' ⋹ x̄̆ ; b̆) ⋹ {1' ⋹ (a ɟ x) ; x̄̆ ; b̆ ⋹ (a ɟ x ; x̄̆) ; b̆ ⋹ ⋹ (a ɟ 0') ; b̆ = a ; b̆} also ⋹ (1' ⋹ a ; b̆). Wir hätten hier auch schliessen können: 1' ⋹ a ɟ x ; x̄̆ ; b̆ ⋹ a ɟ 0' ; b̆, also 1' ⋹ a ɟ 0' ; b̆. Aber diese Resultante ist eine unmittelbare Folgerung aus der vorigen, weil a ; b̆ = (a ɟ 0') ; b̆ ⋹ a ɟ 0' ; b̆. Dieselbe ist mithin minder umfassend oder wertvoll — und ähnlich verfällt man auch bei den folgenden Rechnungen leicht in die Gefahr, weniger zu schliessen als sich schliessen lässt. 30) = (1' ⋹ a ɟ x)(1' ⋹ x̄̆ ; c̆ ɟ b̆) ⋹ [1' ⋹ (a ɟ x) ; (x̄̆ ; c̆ ɟ b̆) ⋹ (a ɟ x) ; x̄̆ ; c̆ ɟ b̆ ⋹ ⋹ (a ɟ x ; x̄̆) ; c̆ ɟ b̆ ⋹ (a ɟ 0') ; c̆ ɟ b̆] also ⋹ (1' ⋹ a ; c̆ ɟ b̆). Wir hätten hier auch schliessen können: 1' ⋹ a ɟ x ; x̄̆ ; c̆ ɟ b̆ ⋹ a ɟ 0' ; c̆ ɟ b̆, allein diese Resultante ist eine unmittelbare Folgerung aus der vorigen, weil: a ; c̆ ɟ b̆ = a ; 1' ; c̆ ɟ b̆ = a ; (1' ɟ 0') ; c̆ ɟ b̆ ⋹ a ; 1' ɟ 0' ; c̆ ɟ b̆ = a ɟ 0' ; c̆ ɟ b̆ und hätte mithin geringere Tragweite. 40) = (1' ⋹ a ɟ x){1' ⋹ (x̄̆ ɟ c̆) ; b̆} ⋹ {1' ⋹ (a ɟ x) ; (x̄̆ ɟ c̆) ; b̆ ⋹ ⋹ (a ɟ x ; x̄̆ ɟ c̆) ; b̆ ⋹ (a ɟ 0' ɟ c̆) ; b̆} also ⋹ {1' ⋹ (a ɟ c̆) ; b̆}.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 472. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/486>, abgerufen am 18.02.2025.