Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 28. Über Elimination.

Sodann nimmt Peirce — obzwar unbeschadet der Richtigkeit und
Tragweite seiner Resultate — keine Notiz davon, dass von seinen Prämissen
einzelne schon für sich allein eine Resultante nach sich ziehen, und end-
lich kümmert er sich nicht um die Frage der Vollständigkeit seiner Re-
sultanten. All diese Umstände lassen eine Revision der Arbeit, wie gesagt,
angezeigt erscheinen.

Zuvörderst ist zu beachten, dass von unsern vier Aussagen 2) die
drei letzten schon je einzeln eine Resultante bedingen. Diese, und
zwar die vollständigen Resultanten, gibt das Tableau:
3) [Formel 1]
wo eben die Konklusion 0 = 0 wie üblich auf keine Resultante, das
Fehlen einer solchen hinweist.

Wegen x ⋹ 1, b ; x ⋹ b ; 1, b ɟ x ⋹ b ɟ 1 = 1 verstehen diese Resul-
tanten sich als Konklusionen von selbst. Dass sie aber die vollen Resul-
tanten sind, muss zunächst bewiesen werden; auch wird unsern Resultanten
noch eine bessere Form zu geben sein.

Dass die Proposition 1' ⋹ a ɟ x keine Resultante liefern kann, geht
daraus hervor, dass bei irgendwie gegebnem a der Wert x = 1 ihr immer
schon (als eine „Wurzel“) genügt. Ebenso ist bei der zweiten, dritten und
vierten Proposition ersichtlich, dass die von uns angegebne Resultante die
volle sein muss, weil jener, sobald diese erfüllt ist, eben die Wurzel x = 1
genügt.

Nun haben wir den Satz — vergl. 48) S. 453:
4) [Formel 2]
dem wir nebenbei auch diesen sogleich zugesellen wollen:
5) [Formel 3]

Beweis zu 4). Denn aus 1' ⋹ a ; 1 folgt auch 1' ; 1 ⋹ a ; 1 ; 1 oder
1 ⋹ a ; 1, also a ; 1 = 1, und umgekehrt, falls letzteres gilt, so ist auch
1' ⋹ a ; 1 — als äquivalent mit 1' ⋹ 1 — erfüllt.

Beweis zu 5) aus den Koeffizienten zu führen. Die Subsumtion
1'_{i j} ⋹ Σ_ha_{i h}0'_{h j}
ist bei j ≠ i nichtssagend, bei j = i dagegen äquivalent mit
1 ⋹ Σ_ha_{i h}0'_{h i} = Σ_h(0'a)_{i h} = (0'a ; 1)_{i j} = 1_{i j},
q. e. d.

Die zweite und vierte unsrer Resultanten 3) statuirt also —
cf. 4) — einfach, dass das Relativ a keine Leerzeilen haben dürfe,
mithin von der Form a = ᾱ ɟ 0 + α sei — cf. 14) des § 16.