Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Zehnte Vorlesung.

Die Darstellung ist nur auf eine Weise möglich. Was nämlich die
erstere betrifft, so gilt für a = a ; 1 und b = b ; 1 der Satz:
62) (a = b) = Π_i(a_i = b_i), ebenso (a ⋹ b) = Π_i(a_i ⋹ b_i).

Denn wegen a_{i j} = a_i, b_{i j} = b_i haben wir im Hinblick auf (14) des
§ 3 und Korollar, S. 33 (a_{i j} = b_{i j}) = (a_i = b_i) auch für jedes j, etc. q. e. d.

Wären nun zwei Darstellungen a = Σ_ia_ii und a = Σ_ib_ii zulässig, so
müsste, wegen a = a, für jedes i sein b_i = a_i, d. h. die beiden müssten
ganz und gar zusammenfallen; sie wären nicht zweierlei, sondern eins.

Wenn damit die Eindeutigkeit der additiven Darstellung von a er-
wiesen ist, so folgt die der multiplikativen durch Kontraposition. Denn
hätten wir zwei verschiedene multiplikative Darstellungen für a, so würden
sich durch beiderseitiges Negiren auch zwei verschiedene additive Dar-
stellungen für ā ergeben, was bereits für ein „System“ ā, so gut wie für a,
als unmöglich erwiesen ist, q. e. d.

Der allgemeine Systemkoeffizient a_i hat die Bedeutung der Aussage:
i ist ein Element von a, d. h. wir haben (Peirce⁸ p. 197, ⁶p. 2)
63) (a_i = 1), = a_i = (i ⋹ a)
— als ein merkwürdiges Gegenstück zu 17) des § 25.

Um dies zu beweisen, braucht man sich blos die Bedeutung der
Subsumtion (i ⋹ a), als
Π_{h k}(i_{h k} ⋹ a_{h k}) = Π_hΠ_k(1'_{i h} ⋹ a_h) = Π_h(0'_{i h} + a_h = 1) = Π_h(0'_{i h} + a_h) = a_i
nach 12) des § 8, zu vergegenwärtigen. Wir können jetzt also sagen:
das System ist die Summe, der Inbegriff seiner Elemente.

Wird der Wert aus 63) in die erste Gleichung 59) eingesetzt, so er-
halten wir die Darstellung:
a = Σ_i(i ⋹ a)i,
welche wesentlich zusammenfällt mit derjenigen, die wir in Bd. 2 S. 345 ‥
348 in eigenartiger Betrachtungsweise aufstellten. Wäre ich damals schon
weit genug in das Verständniss von Peirce’s Theorie der Relative ein-
gedrungen gewesen, so würde ich nicht unterlassen haben, an dortiger
Stelle zu bemerken, dass diese Darstellung bereits in letzterer von andern
und bessern Gesichtspunkten aus gewonnen und zudem (bei ihrer geeignet
modifizirten Übertragung auf die höheren Denkbereiche) noch weit über-
holt worden.

Insbesondre ist nun auch der zweite Denkbereich 1², das ist der
absolute Modul 1, als binäres Relativ betrachtet, ein „System“, und
zwar gilt:
64) 1 = Σ_ii, 0 = Π_iī.
1 ist also (auch im zweiten Denkbereiche) das umfassendste, das Uni-
versum, Totum aller Systeme, nämlich die Summe sämtlicher „Elemente“
des ersten Denkbereiches.