-- das wäre, rechts auf 0 gebracht, eine Relation a ; 1 ; b · cn ; 1 ; dn = 0. Eine solche ist nicht zerfällbar und scheint sich überhaupt nicht in Alternativen oder Systeme von einfachern Relationen auflösen zu lassen. Dagegen lässt sie sich noch auf drei Arten in Relationen der näm- lichen Form umschreiben. Letzteres aufgrund des Satzes: 56)
a ; 1 ; b · c ; 1 ; d = a ; 1 ; d · c ; 1 ; b
a j 0 j b + c j 0 j d = a j 0 j d + c j 0 j b,
der nach 16) aufgrund des Kommutationsgesetzes leicht zu erweisen ist. Darnach begreift sich sogleich, dass (a ; 1 ; bc j 0 j d) = (a ; 1 ; dnc j 0 j bn) = (cn ; 1 ; ban j 0 j d) und auch = (cn ; 1 ; dnan j 0 j bn), welch letzteres aber, als aus Kontra- position der Prämisse unmittelbar ersichtlich, nicht mit aufgeführt zu werden braucht. --
Damit schliessen wir unsre auf Gewinnung einer Formelsammlung gerichtete Aufstellung von Sätzen über Systeme vorläufig ab -- ob- zwar dieselbe zweifellos noch mancher Ergänzung bedarf, die sich eben erst bei der Weiterentwicklung der Disziplin und bei ihren Anwen- dungen auf die vielseitigsten Gebiete erkennen lassen und als wünschens- wert aufdrängen wird.
Jedoch nicht ohne noch einen Ausblick auf eine nächste Gruppe von Problemen zu eröffnen.
Die Quaderrelative bilden eine nächstübergeordnete Klasse von Rela- tiven zu den Systemen und Systemkonversen. Wie schon S. 291 statuirt wurde, führen auch die Spezies der Negation und Konversion nicht aus dem Kreis der Quaderrelative heraus, und ferner ist leicht zu sehen, dass identische Multiplikation von lauter Augenquaderrelativen immer wieder ein solches liefern, desgleichen die Summe von Lückenquaderrelativen ein eben- solches Relativ sein muss.
(Spezieller gilt: System plus oder mal System gleich System. Ebenso Systemkonvers plus oder mal Systemkonvers gleich Systemkonvers. System mal Systemkonvers gleich Augenquaderrelativ. System plus Systemkonvers gleich Lückenquaderrelativ.)
Es ist z. B. a ; 1 ; b · c ; 1 ; d = a ; 1 · c ; 1 · 1 ; b · 1 ; d = System mal Systemkonvers mithin Augenquaderrelativ, wie behauptet.
Aber schon die Summe zweier Augen-, das Produkt zweier Lücken- quaderrelative, nicht minder wie Summe oder Produkt eines Augen- mit einem Lückenquaderrelativ braucht kein Quaderrelativ mehr zu sein, wie es leicht konstruirbare einfache Beispiele darthun. Von den Quaderrela- tiven (oder Systemen und deren Konversen) aus wird man also schon durch die identischen Knüpfungen zu einer noch allgemeineren Klasse von Rela- tiven geführt, und verdiente es untersucht zu werden, mit welchem Relativ- begriffe, als dem allgemeinsten so erhältlichen, die "Gruppe" derselben ab- schliesst. Dies sei Forschern empfohlen.
§ 27. Einordnung zwischen Quaderrelativen.
— das wäre, rechts auf 0 gebracht, eine Relation a ; 1 ; b · c̄ ; 1 ; d̄ = 0. Eine solche ist nicht zerfällbar und scheint sich überhaupt nicht in Alternativen oder Systeme von einfachern Relationen auflösen zu lassen. Dagegen lässt sie sich noch auf drei Arten in Relationen der näm- lichen Form umschreiben. Letzteres aufgrund des Satzes: 56)
a ; 1 ; b · c ; 1 ; d = a ; 1 ; d · c ; 1 ; b
a ɟ 0 ɟ b + c ɟ 0 ɟ d = a ɟ 0 ɟ d + c ɟ 0 ɟ b,
der nach 16) aufgrund des Kommutationsgesetzes leicht zu erweisen ist. Darnach begreift sich sogleich, dass (a ; 1 ; b ⋹ c ɟ 0 ɟ d) = (a ; 1 ; d̄ ⋹ c ɟ 0 ɟ b̄) = (c̄ ; 1 ; b ⋹ ā ɟ 0 ɟ d) und auch = (c̄ ; 1 ; d̄ ⋹ ā ɟ 0 ɟ b̄), welch letzteres aber, als aus Kontra- position der Prämisse unmittelbar ersichtlich, nicht mit aufgeführt zu werden braucht. —
Damit schliessen wir unsre auf Gewinnung einer Formelsammlung gerichtete Aufstellung von Sätzen über Systeme vorläufig ab — ob- zwar dieselbe zweifellos noch mancher Ergänzung bedarf, die sich eben erst bei der Weiterentwicklung der Disziplin und bei ihren Anwen- dungen auf die vielseitigsten Gebiete erkennen lassen und als wünschens- wert aufdrängen wird.
Jedoch nicht ohne noch einen Ausblick auf eine nächste Gruppe von Problemen zu eröffnen.
Die Quaderrelative bilden eine nächstübergeordnete Klasse von Rela- tiven zu den Systemen und Systemkonversen. Wie schon S. 291 statuirt wurde, führen auch die Spezies der Negation und Konversion nicht aus dem Kreis der Quaderrelative heraus, und ferner ist leicht zu sehen, dass identische Multiplikation von lauter Augenquaderrelativen immer wieder ein solches liefern, desgleichen die Summe von Lückenquaderrelativen ein eben- solches Relativ sein muss.
(Spezieller gilt: System plus oder mal System gleich System. Ebenso Systemkonvers plus oder mal Systemkonvers gleich Systemkonvers. System mal Systemkonvers gleich Augenquaderrelativ. System plus Systemkonvers gleich Lückenquaderrelativ.)
Es ist z. B. a ; 1 ; b · c ; 1 ; d = a ; 1 · c ; 1 · 1 ; b · 1 ; d = System mal Systemkonvers mithin Augenquaderrelativ, wie behauptet.
Aber schon die Summe zweier Augen-, das Produkt zweier Lücken- quaderrelative, nicht minder wie Summe oder Produkt eines Augen- mit einem Lückenquaderrelativ braucht kein Quaderrelativ mehr zu sein, wie es leicht konstruirbare einfache Beispiele darthun. Von den Quaderrela- tiven (oder Systemen und deren Konversen) aus wird man also schon durch die identischen Knüpfungen zu einer noch allgemeineren Klasse von Rela- tiven geführt, und verdiente es untersucht zu werden, mit welchem Relativ- begriffe, als dem allgemeinsten so erhältlichen, die „Gruppe“ derselben ab- schliesst. Dies sei Forschern empfohlen.
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[455/0469]
§ 27. Einordnung zwischen Quaderrelativen.
— das wäre, rechts auf 0 gebracht, eine Relation a ; 1 ; b · c̄ ; 1 ; d̄ = 0.
Eine solche ist nicht zerfällbar und scheint sich überhaupt nicht in
Alternativen oder Systeme von einfachern Relationen auflösen zu lassen.
Dagegen lässt sie sich noch auf drei Arten in Relationen der näm-
lichen Form umschreiben. Letzteres aufgrund des Satzes:
56) a ; 1 ; b · c ; 1 ; d = a ; 1 ; d · c ; 1 ; b a ɟ 0 ɟ b + c ɟ 0 ɟ d = a ɟ 0 ɟ d + c ɟ 0 ɟ b,
der nach 16) aufgrund des Kommutationsgesetzes leicht zu erweisen
ist. Darnach begreift sich sogleich, dass
(a ; 1 ; b ⋹ c ɟ 0 ɟ d) = (a ; 1 ; d̄ ⋹ c ɟ 0 ɟ b̄) = (c̄ ; 1 ; b ⋹ ā ɟ 0 ɟ d)
und auch = (c̄ ; 1 ; d̄ ⋹ ā ɟ 0 ɟ b̄), welch letzteres aber, als aus Kontra-
position der Prämisse unmittelbar ersichtlich, nicht mit aufgeführt zu
werden braucht. —
Damit schliessen wir unsre auf Gewinnung einer Formelsammlung
gerichtete Aufstellung von Sätzen über Systeme vorläufig ab — ob-
zwar dieselbe zweifellos noch mancher Ergänzung bedarf, die sich eben
erst bei der Weiterentwicklung der Disziplin und bei ihren Anwen-
dungen auf die vielseitigsten Gebiete erkennen lassen und als wünschens-
wert aufdrängen wird.
Jedoch nicht ohne noch einen Ausblick auf eine nächste Gruppe von
Problemen zu eröffnen.
Die Quaderrelative bilden eine nächstübergeordnete Klasse von Rela-
tiven zu den Systemen und Systemkonversen. Wie schon S. 291 statuirt
wurde, führen auch die Spezies der Negation und Konversion nicht aus
dem Kreis der Quaderrelative heraus, und ferner ist leicht zu sehen, dass
identische Multiplikation von lauter Augenquaderrelativen immer wieder ein
solches liefern, desgleichen die Summe von Lückenquaderrelativen ein eben-
solches Relativ sein muss.
(Spezieller gilt: System plus oder mal System gleich System. Ebenso
Systemkonvers plus oder mal Systemkonvers gleich Systemkonvers. System
mal Systemkonvers gleich Augenquaderrelativ. System plus Systemkonvers
gleich Lückenquaderrelativ.)
Es ist z. B. a ; 1 ; b · c ; 1 ; d = a ; 1 · c ; 1 · 1 ; b · 1 ; d = System mal
Systemkonvers mithin Augenquaderrelativ, wie behauptet.
Aber schon die Summe zweier Augen-, das Produkt zweier Lücken-
quaderrelative, nicht minder wie Summe oder Produkt eines Augen- mit
einem Lückenquaderrelativ braucht kein Quaderrelativ mehr zu sein, wie
es leicht konstruirbare einfache Beispiele darthun. Von den Quaderrela-
tiven (oder Systemen und deren Konversen) aus wird man also schon durch
die identischen Knüpfungen zu einer noch allgemeineren Klasse von Rela-
tiven geführt, und verdiente es untersucht zu werden, mit welchem Relativ-
begriffe, als dem allgemeinsten so erhältlichen, die „Gruppe“ derselben ab-
schliesst. Dies sei Forschern empfohlen.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 455. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/469>, abgerufen am 23.11.2024.
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