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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zehnte Vorlesung.
a ; a, a ; a, a ; a ; a, a ; a ; a, a ; a ; a ; a, etc.,
sowie umgekehrt jedes solche Produkt zwischen den relativen Faktoren 1 in
das Relativ a selber zusammengezogen werden darf. Ein dual entsprechen-
der Satz gilt für Relative die sich zwischen lauter relative Summanden 0
eingestreut finden.

Beweis leicht aus den drei letzten Formelgespannen zu führen.

Die Formeln 25), 26), 27), 28) sind bezüglich als 20) des § 18,
22) § 18, 9) § 10 und (implicite) 3) des § 11 bereits vorgekommen und
bedürfen darum keines Beweises mehr.

Ihnen reihen wir die Formeln 29), 30) an, die als 16), 17) des § 18
vorkamen:
29) [Formel 1]
Insbesondre:
30) [Formel 2]
desgleichen a und an vertauscht. Korollar:
31) [Formel 3]
Unter der nächsten Chiffre geben wir miscellenhaft einige Sätzchen,
die als Übung zu beweisen:
32)

(a j 0 + an) ; 1 = 1a ; 1 · an j 0 = 0
(an + 0 j a) ; 1 = 1an · 1 ; a j 0 = 0
{a + (an j 0)b} ; 1 = (a + b) ; 1a(an ; 1 + b) j 0 = ab j 0
{a + (0 j an)b} ; 1 = a ; 1 + b ; (an j 0)a(1 ; an + b) j 0 = (a j 0)(b j an ; 1)
etc. (d. h. die Gespanne sind noch konjugirt zu ergänzen).
a ; b · a ; bn a ; 1, a ; b · an ; b 1 ; b
(a ; 1)b ; c(1 ; d) = a ; 1 · b ; c · 1 ; d = a ; 1 ; d · b ; c
1 ; (a ; 1)b ; 1 = 1 ; a(1 ; b) ; 1 = 1 ; a ; b ; 1
a j 0 j a a a ; 1 ; a, (a ; 1 an) = (a = 0)
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(an j b a ; b) = (a ; 1 = 1)(a j b an ; b) = (a j 0 = 0)
(a j bn a ; b) = (1 ; b = 1)(a j b a ; bn) = (0 j b = 0).

Von den Beweisen ist vielleicht der des Satzes in der zweiten Zeile
von 32) am wenigsten leicht zu finden: Man konvertire in an ; 1 + (0 j a) ; 1
das zweite Glied, welches ja ein ausgezeichnetes Relativ ist, und kommt
für b = a j 0 auf den Satz 2): bn + 1 ; b = 1.


Zehnte Vorlesung.
a ; ă, ă ; a, a ; ă ; a, ă ; a ; ă, a ; ă ; a ; ă, etc.,
sowie umgekehrt jedes solche Produkt zwischen den relativen Faktoren 1 in
das Relativ a selber zusammengezogen werden darf. Ein dual entsprechen-
der Satz gilt für Relative die sich zwischen lauter relative Summanden 0
eingestreut finden.

Beweis leicht aus den drei letzten Formelgespannen zu führen.

Die Formeln 25), 26), 27), 28) sind bezüglich als 20) des § 18,
22) § 18, 9) § 10 und (implicite) 3) des § 11 bereits vorgekommen und
bedürfen darum keines Beweises mehr.

Ihnen reihen wir die Formeln 29), 30) an, die als 16), 17) des § 18
vorkamen:
29) [Formel 1]
Insbesondre:
30) [Formel 2]
desgleichen a und ā̆ vertauscht. Korollar:
31) [Formel 3]
Unter der nächsten Chiffre geben wir miscellenhaft einige Sätzchen,
die als Übung zu beweisen:
32)

(a ɟ 0 + ā) ; 1 = 1a ; 1 · ā ɟ 0 = 0
(ā̆ + 0 ɟ a) ; 1 = 1ā̆ · 1 ; a ɟ 0 = 0
{a + (ā ɟ 0)b} ; 1 = (a + b) ; 1a(ā ; 1 + b) ɟ 0 = ab ɟ 0
{a + (0 ɟ ā)b} ; 1 = a ; 1 + b ; (ā̆ ɟ 0)a(1 ; ā + b) ɟ 0 = (a ɟ 0)(b ɟ ā̆ ; 1)
etc. (d. h. die Gespanne sind noch konjugirt zu ergänzen).
a ; b · a ; b̄ ⋹ a ; 1, a ; b · ā ; b ⋹ 1 ; b
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0 ɟ a ɟ 0 ⋹ a ⋹ 1 ; a ; 1, (ā ; 1 ⋹ a) = (a = 1)
(ā ɟ b ⋹ a ; b) = (a ; 1 = 1)(a ɟ b ⋹ ā ; b) = (a ɟ 0 = 0)
(a ɟ b̄ ⋹ a ; b) = (1 ; b = 1)(a ɟ b ⋹ a ; b̄) = (0 ɟ b = 0).

Von den Beweisen ist vielleicht der des Satzes in der zweiten Zeile
von 32) am wenigsten leicht zu finden: Man konvertire in ā̆ ; 1 + (0 ɟ a) ; 1
das zweite Glied, welches ja ein ausgezeichnetes Relativ ist, und kommt
für b = ă ɟ 0 auf den Satz 2): b̄ + 1 ; b = 1.


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[448/0462] Zehnte Vorlesung. a ; ă, ă ; a, a ; ă ; a, ă ; a ; ă, a ; ă ; a ; ă, etc., sowie umgekehrt jedes solche Produkt zwischen den relativen Faktoren 1 in das Relativ a selber zusammengezogen werden darf. Ein dual entsprechen- der Satz gilt für Relative die sich zwischen lauter relative Summanden 0 eingestreut finden. Beweis leicht aus den drei letzten Formelgespannen zu führen. Die Formeln 25), 26), 27), 28) sind bezüglich als 20) des § 18, 22) § 18, 9) § 10 und (implicite) 3) des § 11 bereits vorgekommen und bedürfen darum keines Beweises mehr. Ihnen reihen wir die Formeln 29), 30) an, die als 16), 17) des § 18 vorkamen: 29) [FORMEL] Insbesondre: 30) [FORMEL] desgleichen a und ā̆ vertauscht. Korollar: 31) [FORMEL] Unter der nächsten Chiffre geben wir miscellenhaft einige Sätzchen, die als Übung zu beweisen: 32) (a ɟ 0 + ā) ; 1 = 1 a ; 1 · ā ɟ 0 = 0 (ā̆ + 0 ɟ a) ; 1 = 1 ā̆ · 1 ; a ɟ 0 = 0 {a + (ā ɟ 0)b} ; 1 = (a + b) ; 1 a(ā ; 1 + b) ɟ 0 = ab ɟ 0 {a + (0 ɟ ā)b} ; 1 = a ; 1 + b ; (ā̆ ɟ 0) a(1 ; ā + b) ɟ 0 = (a ɟ 0)(b ɟ ā̆ ; 1) etc. (d. h. die Gespanne sind noch konjugirt zu ergänzen). a ; b · a ; b̄ ⋹ a ; 1, a ; b · ā ; b ⋹ 1 ; b (a ; 1)b ; c(1 ; d) = a ; 1 · b ; c · 1 ; d = a ; 1 ; d · b ; c 1 ; (ă ; 1)b ; 1 = 1 ; a(1 ; b̆) ; 1 = 1 ; a ; b ; 1 a ɟ 0 ɟ a ⋹ a ⋹ a ; 1 ; a, (a ; 1 ⋹ ā) = (a = 0) 0 ɟ a ɟ 0 ⋹ a ⋹ 1 ; a ; 1, (ā ; 1 ⋹ a) = (a = 1) (ā ɟ b ⋹ a ; b) = (a ; 1 = 1) (a ɟ b ⋹ ā ; b) = (a ɟ 0 = 0) (a ɟ b̄ ⋹ a ; b) = (1 ; b = 1) (a ɟ b ⋹ a ; b̄) = (0 ɟ b = 0). Von den Beweisen ist vielleicht der des Satzes in der zweiten Zeile von 32) am wenigsten leicht zu finden: Man konvertire in ā̆ ; 1 + (0 ɟ a) ; 1 das zweite Glied, welches ja ein ausgezeichnetes Relativ ist, und kommt für b = ă ɟ 0 auf den Satz 2): b̄ + 1 ; b = 1.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 448. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/462>, abgerufen am 23.11.2024.