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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zehnte Vorlesung.
mithin blos die Annahme z 1 ; z ; 0' rechnerisch ad absurdum geführt
werden.

Das Theorem 24) erfährt späterhin noch eine eigentümliche Beleuch-
tung, einerseits wenn bei der Erweiterung des zweiten Denkbereiches 12
zu dem der dritten Ordnung 13 das Elementepaar i : j noch weiter (in
Punkte) eingeteilt wird, indem uns der Punkt der Matrixebene nicht blos
als Träger sondern als Repräsentant einer in ihm normal zu dieser stehenden
Geraden ("Applikate") gelten kann, die dann selber noch unendlich viele
Punkte enthalten mag; andrerseits wenn wir eine Zurückdeutung in den
ersten Denkbereich 11 vornehmend -- schon im nächsten Paragraphen --
die Charakteristik des "Elementes" ebenfalls mit der Individuumsdefinition
des identischen Kalkuls in Zusammenhang bringen werden.

Die Äquivalenz 24), wenn in ihr das [Formel 1] allemal mit der vollen Er-
streckung über alle Relative u des betreffenden Denkbereiches genommen
wird, versagt für die höheren Denkbereiche. Die Charakteristik 10) ver-
mag nur das Individuum des zweiten, die 7) des § 25 nur das des ersten
Denkbereiches (für den zweiten) zu definiren. Die Definitionsform des
identischen Kalkuls dagegen definirt in übereinstimmender Fassung für
jeden Denkbereich gerade diejenige Art von Relativen, welche in ihm als
"Individuen" zu gelten haben. --

Wenden wir uns jetzt programmgemäss zu den identischen Knüpfungen
zwischen Elementepaaren oder deren Verwandten, so genügt es, die
beiden folgenden Sätze zu etabliren:
27) (i h) + (j k) = {(i : j)(h : k) = 0},
28) (i = h)(j = k) = {(i : j)(h : k) = i : j = h : k} = {(i : j)(h : k) 0},
was nichts anderes besagt, als: Alle Elementepaare sind unter sich
disjunkt.

Das identische Produkt zweier Elementepaare verschwindet, sobald
dieselben nicht in den Antezedenten (Relaten) sowol als in den Konse-
quenten (Korrelaten) übereinstimmen, d. h. völlig einerlei sind.

Natürlich aber ist nach dem Tautologiegesetze das Produkt zweier
Elementepaare gleich dem einen und auch gleich dem andern, sobald
dieselben identisch sind.

Beweise. Ist h = i und k = j, so ist auch
h : k = hk = ij = i : j, (i : j)(h : k) = ijij = ij = i : j,
etc. dem eben Gesagten entsprechend. Somit ist der erste Teil von 28)
als vorwärtige Aussagensubsumtion erwiesen.

Ist i h oder j k, so muss (i : j)(h : k) = ijhk = 0 sein, weil dann
entweder ih oder jk, nämlich jk nach 16) des § 25 gleich 0 ist. Somit
ist auch die Aussagenäquivalenz 27) als vorwärtige Subsumtion bewiesen.

Die linke Seite von 27) ist die Negation derer von 28). Würde

Zehnte Vorlesung.
mithin blos die Annahme z ⋹ 1 ; z ; 0' rechnerisch ad absurdum geführt
werden.

Das Theorem 24) erfährt späterhin noch eine eigentümliche Beleuch-
tung, einerseits wenn bei der Erweiterung des zweiten Denkbereiches 12
zu dem der dritten Ordnung 13 das Elementepaar i : j noch weiter (in
Punkte) eingeteilt wird, indem uns der Punkt der Matrixebene nicht blos
als Träger sondern als Repräsentant einer in ihm normal zu dieser stehenden
Geraden („Applikate“) gelten kann, die dann selber noch unendlich viele
Punkte enthalten mag; andrerseits wenn wir eine Zurückdeutung in den
ersten Denkbereich 11 vornehmend — schon im nächsten Paragraphen —
die Charakteristik des „Elementes“ ebenfalls mit der Individuumsdefinition
des identischen Kalkuls in Zusammenhang bringen werden.

Die Äquivalenz 24), wenn in ihr das [Formel 1] allemal mit der vollen Er-
streckung über alle Relative u des betreffenden Denkbereiches genommen
wird, versagt für die höheren Denkbereiche. Die Charakteristik 10) ver-
mag nur das Individuum des zweiten, die 7) des § 25 nur das des ersten
Denkbereiches (für den zweiten) zu definiren. Die Definitionsform des
identischen Kalkuls dagegen definirt in übereinstimmender Fassung für
jeden Denkbereich gerade diejenige Art von Relativen, welche in ihm als
„Individuen“ zu gelten haben. —

Wenden wir uns jetzt programmgemäss zu den identischen Knüpfungen
zwischen Elementepaaren oder deren Verwandten, so genügt es, die
beiden folgenden Sätze zu etabliren:
27) (i ≠ h) + (j ≠ k) = {(i : j)(h : k) = 0},
28) (i = h)(j = k) = {(i : j)(h : k) = i : j = h : k} = {(i : j)(h : k) ≠ 0},
was nichts anderes besagt, als: Alle Elementepaare sind unter sich
disjunkt.

Das identische Produkt zweier Elementepaare verschwindet, sobald
dieselben nicht in den Antezedenten (Relaten) sowol als in den Konse-
quenten (Korrelaten) übereinstimmen, d. h. völlig einerlei sind.

Natürlich aber ist nach dem Tautologiegesetze das Produkt zweier
Elementepaare gleich dem einen und auch gleich dem andern, sobald
dieselben identisch sind.

Beweise. Ist h = i und k = j, so ist auch
h : k = hk̆ = ij̆ = i : j, (i : j)(h : k) = ij̆ij̆ = ij̆ = i : j,
etc. dem eben Gesagten entsprechend. Somit ist der erste Teil von 28)
als vorwärtige Aussagensubsumtion erwiesen.

Ist i ≠ h oder j ≠ k, so muss (i : j)(h : k) = ij̆hk̆ = 0 sein, weil dann
entweder ih oder j̆k̆, nämlich jk nach 16) des § 25 gleich 0 ist. Somit
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Die linke Seite von 27) ist die Negation derer von 28). Würde

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[438/0452] Zehnte Vorlesung. mithin blos die Annahme z ⋹ 1 ; z ; 0' rechnerisch ad absurdum geführt werden. Das Theorem 24) erfährt späterhin noch eine eigentümliche Beleuch- tung, einerseits wenn bei der Erweiterung des zweiten Denkbereiches 12 zu dem der dritten Ordnung 13 das Elementepaar i : j noch weiter (in Punkte) eingeteilt wird, indem uns der Punkt der Matrixebene nicht blos als Träger sondern als Repräsentant einer in ihm normal zu dieser stehenden Geraden („Applikate“) gelten kann, die dann selber noch unendlich viele Punkte enthalten mag; andrerseits wenn wir eine Zurückdeutung in den ersten Denkbereich 11 vornehmend — schon im nächsten Paragraphen — die Charakteristik des „Elementes“ ebenfalls mit der Individuumsdefinition des identischen Kalkuls in Zusammenhang bringen werden. Die Äquivalenz 24), wenn in ihr das [FORMEL] allemal mit der vollen Er- streckung über alle Relative u des betreffenden Denkbereiches genommen wird, versagt für die höheren Denkbereiche. Die Charakteristik 10) ver- mag nur das Individuum des zweiten, die 7) des § 25 nur das des ersten Denkbereiches (für den zweiten) zu definiren. Die Definitionsform des identischen Kalkuls dagegen definirt in übereinstimmender Fassung für jeden Denkbereich gerade diejenige Art von Relativen, welche in ihm als „Individuen“ zu gelten haben. — Wenden wir uns jetzt programmgemäss zu den identischen Knüpfungen zwischen Elementepaaren oder deren Verwandten, so genügt es, die beiden folgenden Sätze zu etabliren: 27) (i ≠ h) + (j ≠ k) = {(i : j)(h : k) = 0}, 28) (i = h)(j = k) = {(i : j)(h : k) = i : j = h : k} = {(i : j)(h : k) ≠ 0}, was nichts anderes besagt, als: Alle Elementepaare sind unter sich disjunkt. Das identische Produkt zweier Elementepaare verschwindet, sobald dieselben nicht in den Antezedenten (Relaten) sowol als in den Konse- quenten (Korrelaten) übereinstimmen, d. h. völlig einerlei sind. Natürlich aber ist nach dem Tautologiegesetze das Produkt zweier Elementepaare gleich dem einen und auch gleich dem andern, sobald dieselben identisch sind. Beweise. Ist h = i und k = j, so ist auch h : k = hk̆ = ij̆ = i : j, (i : j)(h : k) = ij̆ij̆ = ij̆ = i : j, etc. dem eben Gesagten entsprechend. Somit ist der erste Teil von 28) als vorwärtige Aussagensubsumtion erwiesen. Ist i ≠ h oder j ≠ k, so muss (i : j)(h : k) = ij̆hk̆ = 0 sein, weil dann entweder ih oder j̆k̆, nämlich jk nach 16) des § 25 gleich 0 ist. Somit ist auch die Aussagenäquivalenz 27) als vorwärtige Subsumtion bewiesen. Die linke Seite von 27) ist die Negation derer von 28). Würde

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 438. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/452>, abgerufen am 23.11.2024.