Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 26. Zusammenhang mit der Individuumsdefinition identischen Kalkuls.

nach den Methoden des § 11 zusammengezogen die vereinigte Gleichung:
1 ; zū ; 1 ; zu ; 1 = 0 oder zū ; 1 ; zu = 0,
welche also nur mehr zu beweisen ist.

Dabei kann z = ij̆ eingesetzt werden.

Nennen wir Z den fraglichen Ausdruck, so ist:
Z = zū ; 1 · 1 ; zu = (i ; 1)j̆ū ; 1 · 1 ; i(1 ; j̆)u = i ; 1 · j̆ū ; 1 · 1 ; j̆ · 1 ; iu =
= ij̆ · ū(1 ; j̆) ; 1 · 1 ; (i ; 1)u = ij̆ · ū ; j ; 1 · 1 ; ĭ ; u = ij̆ · ū ; j · ĭ ; u
— gemäss 6) des § 18, zu vorletzt. Dass dieser Ausdruck nun verschwindet
ist einerseits daraus ersichtlich, dass nach 29) des § 25:
Z = ū ; j · j̆ · i · ĭ ; u = ūj̆ · iu ⋹ uū = 0
wird; andrerseits ist es auch durch die Koeffizientenevidenz nachweisbar,
indem:
Z_{h k} = i_{h k}j_{k h}Σ_lū_{h l}j_{l k} · Σ_mi_{m h}u_{m k} =
= 1'_{i h}1'_{j k}Σ_lū_{h l}1'_{j l} · Σ_m1'_{i m}u_{m k} = 1'_{i h}1'_{j k}ū_{h j}u_{i k},
wo das Produkt der beiden ersten Faktoren nur für h = i und j = k nicht
verschwinden wird, dafür aber das Produkt der beiden letzten Faktoren als
ū_{i j} · u_{i j} verschwindet, q. e. d.

Man hätte den Beweis auch ohne die vorhergehende Reduktion des
Ausdrucks mit Z = ij̆ū ; 1 ; ij̆u in Gestalt von
Z_{h k} = Σ_{l m}i_{h l}j_{l h}ū_{h l}1_{l m}i_{m k}j_{k m}u_{m k} =
= Σ_{l m}1'_{i h}1'_{j l}ū_{h l}1'_m1'_{j k}u_{m k} = ū_{i j}u_{i j} = 0
noch rascher führen können.

Rückwärts ist zu zeigen, dass ein nicht verschwindendes binäres
Relativ z, welches die Eigenschaft besitzt, jedem binären Relativ u
gegenüber entweder in diesem oder in ū enthalten zu sein, notwendig
ein Elementepaar i : j sein muss, nämlich die Charakteristik 10) eben-
dieses erfüllt.

Dies kann ja ganz leicht durch folgende Überlegung geschehen.

Jedes binäre Relativ ist laut Definition eine Summe von Elemente-
paaren, und seine Matrix besteht dementsprechend aus Augen und
Leerstellen.

Nun muss die Matrix des der rechten Seite von 24) genügenden z
mindestens ein Auge haben, weil z = 0 ausgeschlossen ist. Sei i : j
das einem solchen Auge entsprechende Elementepaar, so kann z kein
zweites Elementepaar h : k enthalten, m. a. W. die Matrix von z kann
(auch) nicht mehr als ein Auge haben. Denn im gegenteiligen Falle
würden Relative u existiren und angebbar sein von der Eigenschaft,
dass z nachweislich weder in ihnen noch in ihrem Negate enthalten

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