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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 26. Das Einauge als Individuum im zweiten Denkbereich.

Die Gleichung 23) rückwärts als Subsumtion zu beweisen läuft
darauf hinaus, zu zeigen, dass die Charakteristik linkerhand (als Re-
sultante der Elimination von x, y) aus dem allgemeinen Glied der
Doppelsumme rechterhand folgt.

Dies ist auf dem Umwege über 6) .. 8) nach 10) implicite bereits
geschehen, soll aber nunmehr nochmals auf dem kürzesten Wege geleistet
werden.

Dabei dürfen wir die aus den Charakteristiken für x und y bereits
S. 408 sq. abgeleiteten Folgerungen
x ; 1 = x = x j 0, 1 ; x = 1 = y ; 1,
1 ; y = y = 0 j y,
etc. nebst deren Kontraposition benutzen. Nun ist für z = xy:
R = z ; 1 + 1 ; z = xy ; 1 + 1 ; xy, L = 1' j zn j 1' = 1' j (xn + yn) j 1'
und soll L = R bewiesen werden. Aber:
R = (x ; 1)y ; 1 + 1 ; x(1 ; y) = x ; 1 · y ; 1 + 1 ; x · 1 ; y = x · 1 + 1 · y = x + y
gemäss der linkseitigen Schemata 5) des § 18 für c = 1 in Anspruch ge-
nommen. Ebenso haben wir nach deren rechtseitigen für c = 1' in An-
spruch genommnen Schemata:
L = {1' j (xn + 1 ; yn)} j 1' = (1' j xn + 1 ; yn) j 1' = (1' j xn ; 1 + 1 ; yn) j 1' =
= (x + 1 ; yn) j 1' = (x ; 1 + 1 ; yn) j 1' = x ; 1 + 1 ; yn j 1' = x + y,
q. e. d. Noch leichter könnte mit der Annahme z = x ; y gezeigt werden, dass:
R = x ; y ; 1 + 1 ; x ; y = x ; 1 + 1 ; y = x ; 1 j 1 ; y = x j y,
L = 1' j xn j yn j 1' = 1' j xn ; 1 j 1 ; yn j 1' = x j y,
also L = R sein muss.

Um die Gleichung 23) vorwärts als Subsumtion zu beweisen, muss
gezeigt werden, dass, sobald z die Charakteristik links erfüllt, es min-
destens ein Wertepaar x, y gibt, welches die Aussage hinter der
Doppelsumme rechts wahr macht. Ein solches ist aber in der That
angebbar in Gestalt von:
x = z ; 1, y = 1 ; z.

Beweis. Denn hiefür wird erstens
z = z ; 1 · 1 ; z(= z ; 1 ; z) = z ; 1 ; 1 ; z,
also z = xy = x ; y erfüllt sein, was wir indirekt schon aus 10) abgeleitet
haben, auf wol kürzestem Weg aber so ableiten mögen:
z ; 1 · 1 ; z = z ; (1' + 0') · (0' + 1') ; z = (z + z ; 0')(0' ; z + z) = z + z ; 0' · 0' ; z = z + 0 = z,
indem das Verschwinden des letzten Gliedes bereits auf S. 431 aus 10)
gefolgert wurde.

Es bleibt also nur noch das Erfülltsein der beiden ersten Faktor-
Aussagen hinter den S in 23) zu beweisen. Wegen

Schröder, Algebra der Relative. 28
§ 26. Das Einauge als Individuum im zweiten Denkbereich.

Die Gleichung 23) rückwärts als Subsumtion zu beweisen läuft
darauf hinaus, zu zeigen, dass die Charakteristik linkerhand (als Re-
sultante der Elimination von x, y) aus dem allgemeinen Glied der
Doppelsumme rechterhand folgt.

Dies ist auf dem Umwege über 6) ‥ 8) nach 10) implicite bereits
geschehen, soll aber nunmehr nochmals auf dem kürzesten Wege geleistet
werden.

Dabei dürfen wir die aus den Charakteristiken für x und y bereits
S. 408 sq. abgeleiteten Folgerungen
x ; 1 = x = x ɟ 0, 1 ; x = 1 = y ; 1,
1 ; y = y = 0 ɟ y,
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und soll L = R bewiesen werden. Aber:
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gemäss der linkseitigen Schemata 5) des § 18 für c = 1 in Anspruch ge-
nommen. Ebenso haben wir nach deren rechtseitigen für c = 1' in An-
spruch genommnen Schemata:
L = {1' ɟ (x̄ + 1 ; ȳ)} ɟ 1' = (1' ɟ x̄ + 1 ; ȳ) ɟ 1' = (1' ɟ x̄ ; 1 + 1 ; ȳ) ɟ 1' =
= (x + 1 ; ȳ) ɟ 1' = (x ; 1 + 1 ; ȳ) ɟ 1' = x ; 1 + 1 ; ȳ ɟ 1' = x + y,
q. e. d. Noch leichter könnte mit der Annahme z = x ; y gezeigt werden, dass:
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L = 1' ɟ x̄ ɟ ȳ ɟ 1' = 1' ɟ x̄ ; 1 ɟ 1 ; ȳ ɟ 1' = x ɟ y,
also L = R sein muss.

Um die Gleichung 23) vorwärts als Subsumtion zu beweisen, muss
gezeigt werden, dass, sobald z die Charakteristik links erfüllt, es min-
destens ein Wertepaar x, y gibt, welches die Aussage hinter der
Doppelsumme rechts wahr macht. Ein solches ist aber in der That
angebbar in Gestalt von:
x = z ; 1, y = 1 ; z.

Beweis. Denn hiefür wird erstens
z = z ; 1 · 1 ; z(= z ; 1 ; z) = z ; 1 ; 1 ; z,
also z = xy = x ; y erfüllt sein, was wir indirekt schon aus 10) abgeleitet
haben, auf wol kürzestem Weg aber so ableiten mögen:
z ; 1 · 1 ; z = z ; (1' + 0') · (0' + 1') ; z = (z + z ; 0')(0' ; z + z) = z + z ; 0' · 0' ; z = z + 0 = z,
indem das Verschwinden des letzten Gliedes bereits auf S. 431 aus 10)
gefolgert wurde.

Es bleibt also nur noch das Erfülltsein der beiden ersten Faktor-
Aussagen hinter den Σ in 23) zu beweisen. Wegen

Schröder, Algebra der Relative. 28
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[433/0447] § 26. Das Einauge als Individuum im zweiten Denkbereich. Die Gleichung 23) rückwärts als Subsumtion zu beweisen läuft darauf hinaus, zu zeigen, dass die Charakteristik linkerhand (als Re- sultante der Elimination von x, y) aus dem allgemeinen Glied der Doppelsumme rechterhand folgt. Dies ist auf dem Umwege über 6) ‥ 8) nach 10) implicite bereits geschehen, soll aber nunmehr nochmals auf dem kürzesten Wege geleistet werden. Dabei dürfen wir die aus den Charakteristiken für x und y bereits S. 408 sq. abgeleiteten Folgerungen x ; 1 = x = x ɟ 0, 1 ; x = 1 = y ; 1, 1 ; y = y = 0 ɟ y, etc. nebst deren Kontraposition benutzen. Nun ist für z = xy: R = z ; 1 + 1 ; z = xy ; 1 + 1 ; xy, L = 1' ɟ z̄ ɟ 1' = 1' ɟ (x̄ + ȳ) ɟ 1' und soll L = R bewiesen werden. Aber: R = (x ; 1)y ; 1 + 1 ; x(1 ; y) = x ; 1 · y ; 1 + 1 ; x · 1 ; y = x · 1 + 1 · y = x + y gemäss der linkseitigen Schemata 5) des § 18 für c = 1 in Anspruch ge- nommen. Ebenso haben wir nach deren rechtseitigen für c = 1' in An- spruch genommnen Schemata: L = {1' ɟ (x̄ + 1 ; ȳ)} ɟ 1' = (1' ɟ x̄ + 1 ; ȳ) ɟ 1' = (1' ɟ x̄ ; 1 + 1 ; ȳ) ɟ 1' = = (x + 1 ; ȳ) ɟ 1' = (x ; 1 + 1 ; ȳ) ɟ 1' = x ; 1 + 1 ; ȳ ɟ 1' = x + y, q. e. d. Noch leichter könnte mit der Annahme z = x ; y gezeigt werden, dass: R = x ; y ; 1 + 1 ; x ; y = x ; 1 + 1 ; y = x ; 1 ɟ 1 ; y = x ɟ y, L = 1' ɟ x̄ ɟ ȳ ɟ 1' = 1' ɟ x̄ ; 1 ɟ 1 ; ȳ ɟ 1' = x ɟ y, also L = R sein muss. Um die Gleichung 23) vorwärts als Subsumtion zu beweisen, muss gezeigt werden, dass, sobald z die Charakteristik links erfüllt, es min- destens ein Wertepaar x, y gibt, welches die Aussage hinter der Doppelsumme rechts wahr macht. Ein solches ist aber in der That angebbar in Gestalt von: x = z ; 1, y = 1 ; z. Beweis. Denn hiefür wird erstens z = z ; 1 · 1 ; z(= z ; 1 ; z) = z ; 1 ; 1 ; z, also z = xy = x ; y erfüllt sein, was wir indirekt schon aus 10) abgeleitet haben, auf wol kürzestem Weg aber so ableiten mögen: z ; 1 · 1 ; z = z ; (1' + 0') · (0' + 1') ; z = (z + z ; 0')(0' ; z + z) = z + z ; 0' · 0' ; z = z + 0 = z, indem das Verschwinden des letzten Gliedes bereits auf S. 431 aus 10) gefolgert wurde. Es bleibt also nur noch das Erfülltsein der beiden ersten Faktor- Aussagen hinter den Σ in 23) zu beweisen. Wegen Schröder, Algebra der Relative. 28

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 433. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/447>, abgerufen am 23.11.2024.