Aber gemäss 3), 4) des § 25 sind aus den beiden letzten Prä- missen auch schon die Konklusionen verfügbar: x ; 1 = 1 und y ; 1 = 1, womit denn in der That 1 ; z ; 1 = 1 gewonnen ist.
Bedeutend einfacher wird freilich der Beweis dieser dritten Resultante, falls man die erste Prämisse in der Gestalt z = x ; y zugrunde legt. Hier folgt -- wie auf S. 417 -- sogleich: 1 ; z ; 1 = 1 ; x ; y ; 1 = 1 ; 1 = 1 wegen 1 ; x = 1 = y ; 1. Und auch die beiden andern Einzelresultanten beweisen sich unschwer so: z ; 1 ; z = z ; 1 ; 1 ; z = x ; y ; 1 ; 1 ; x ; y = x ; 1 ; 1 ; y = x ; y = z, wegen y ; 1 = 1 = 1 ; x und x ; 1 = x, 1 ; y = y. Endlich: (zn j 1')(1' j zn) = (xn j yn j 1')(1' j xn j yn) = (xn j y)(x j yn) = (xn ; 1 j 1 ; yn)(x ; 1 j 1 ; yn) = = (xn ; 1 + 1 ; y)(x ; 1 + 1 ; yn) = (xn + y)(x + yn) = xy + xnyn = x ; 1 · 1 ; y + xn ; 1 · 1 ; yn = = x ; 1 ; y + xn ; 1 ; yn = x ; 1 ; 1 ; y + xn ; 1 ; 1 ; yn = x ; y + xn ; yn = z + xn ; yn, womit die Einordnung von z unter die linke Seite bewiesen ist. Es kamen hierbei ausser vorerwähnten nur die Gleichungen xn ; 1 = xn, 1 ; yn = yn aus 3), 4) des § 25 und das Theorem 24) des § 20 in Anwendung.
Die Herleitung der drei Einzelresultanten bei Zugrundelegung andrer Formen der Charakteristik von i resp. x bietet hübsche Übungsaufgaben für Anfänger.
Die vereinigte Gleichung der drei gefundnen Einzelresultanten ist: 6) zn · z ; 1 ; z + z(z ; 0' + 0' ; z) + 0 j zn j 0 = 0.
Dass diese aber in der That die volle Resultante ist, lässt sich wie folgt beweisen.
Wegen des mittleren Terms ist das Relativ z = (zn j 1')z(1' j zn) jedenfalls eine "auch umgekehrt niemals mehrdeutige Abbildung", d. h. die Augen seiner Matrix sind lauter Kreuzreiter -- vergleiche etwa § 30 -- oder, um uns hier lediglich auf die bekannten Parallelreihen- sätze zu berufen: wegen zzn j 1' und z 1' j zn hat z höchstens ein- besetzte Zeilen sowol als Kolonnen (neben etwaigen Leerreihen). Wegen des dritten Terms ist z 0 und enthält mindestens ein Auge; das einäugige z erfüllt die Forderung 6). Sobald aber z mehr als einen Kreuzreiter zu Augen hat, verschwindet der erste Term nicht mehr, indem z ; 1 ; z alsdann von z notwendig verschieden wird, nämlich mehr Augen als dieses enthält.
Irgend zwei (als Kreuzreiter) etwa vorhandene Augen des z steuern nämlich zu dem Relative z ; 1 ; z = z ; 1 · 1 ; z auch die beiden Augen bei, welche die beiden andern Ecken des von jenen beiden bestimmten Reihenrechtecks (oder der zugehörigen Gittermasche) sind und die
Zehnte Vorlesung.
Aber gemäss 3), 4) des § 25 sind aus den beiden letzten Prä- missen auch schon die Konklusionen verfügbar: x̆ ; 1 = 1 und y ; 1 = 1, womit denn in der That 1 ; z ; 1 = 1 gewonnen ist.
Bedeutend einfacher wird freilich der Beweis dieser dritten Resultante, falls man die erste Prämisse in der Gestalt z = x ; y zugrunde legt. Hier folgt — wie auf S. 417 — sogleich: 1 ; z ; 1 = 1 ; x ; y ; 1 = 1 ; 1 = 1 wegen 1 ; x = 1 = y ; 1. Und auch die beiden andern Einzelresultanten beweisen sich unschwer so: z ; 1 ; z = z ; 1 ; 1 ; z = x ; y ; 1 ; 1 ; x ; y = x ; 1 ; 1 ; y = x ; y = z, wegen y ; 1 = 1 = 1 ; x und x ; 1 = x, 1 ; y = y. Endlich: (z̄ ɟ 1')(1' ɟ z̄) = (x̄ ɟ ȳ ɟ 1')(1' ɟ x̄ ɟ ȳ) = (x̄ ɟ y)(x ɟ ȳ) = (x̄ ; 1 ɟ 1 ; ȳ)(x ; 1 ɟ 1 ; ȳ) = = (x̄ ; 1 + 1 ; y)(x ; 1 + 1 ; ȳ) = (x̄ + y)(x + ȳ) = xy + x̄ȳ = x ; 1 · 1 ; y + x̄ ; 1 · 1 ; ȳ = = x ; 1 ; y + x̄ ; 1 ; ȳ = x ; 1 ; 1 ; y + x̄ ; 1 ; 1 ; ȳ = x ; y + x̄ ; ȳ = z + x̄ ; ȳ, womit die Einordnung von z unter die linke Seite bewiesen ist. Es kamen hierbei ausser vorerwähnten nur die Gleichungen x̄ ; 1 = x̄, 1 ; ȳ = ȳ aus 3), 4) des § 25 und das Theorem 24) des § 20 in Anwendung.
Die Herleitung der drei Einzelresultanten bei Zugrundelegung andrer Formen der Charakteristik von i resp. x bietet hübsche Übungsaufgaben für Anfänger.
Die vereinigte Gleichung der drei gefundnen Einzelresultanten ist: 6) z̄ · z ; 1 ; z + z(z ; 0' + 0' ; z) + 0 ɟ z̄ ɟ 0 = 0.
Dass diese aber in der That die volle Resultante ist, lässt sich wie folgt beweisen.
Wegen des mittleren Terms ist das Relativ z = (z̄ ɟ 1')z(1' ɟ z̄) jedenfalls eine „auch umgekehrt niemals mehrdeutige Abbildung“, d. h. die Augen seiner Matrix sind lauter Kreuzreiter — vergleiche etwa § 30 — oder, um uns hier lediglich auf die bekannten Parallelreihen- sätze zu berufen: wegen z ⋹ z̄ ɟ 1' und z ⋹ 1' ɟ z̄ hat z höchstens ein- besetzte Zeilen sowol als Kolonnen (neben etwaigen Leerreihen). Wegen des dritten Terms ist z ≠ 0 und enthält mindestens ein Auge; das einäugige z erfüllt die Forderung 6). Sobald aber z mehr als einen Kreuzreiter zu Augen hat, verschwindet der erste Term nicht mehr, indem z ; 1 ; z alsdann von z notwendig verschieden wird, nämlich mehr Augen als dieses enthält.
Irgend zwei (als Kreuzreiter) etwa vorhandene Augen des z steuern nämlich zu dem Relative z ; 1 ; z = z ; 1 · 1 ; z auch die beiden Augen bei, welche die beiden andern Ecken des von jenen beiden bestimmten Reihenrechtecks (oder der zugehörigen Gittermasche) sind und die
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[426/0440]
Zehnte Vorlesung.
Aber gemäss 3), 4) des § 25 sind aus den beiden letzten Prä-
missen auch schon die Konklusionen verfügbar: x̆ ; 1 = 1 und y ; 1 = 1,
womit denn in der That 1 ; z ; 1 = 1 gewonnen ist.
Bedeutend einfacher wird freilich der Beweis dieser dritten Resultante,
falls man die erste Prämisse in der Gestalt
z = x ; y
zugrunde legt. Hier folgt — wie auf S. 417 — sogleich:
1 ; z ; 1 = 1 ; x ; y ; 1 = 1 ; 1 = 1 wegen 1 ; x = 1 = y ; 1.
Und auch die beiden andern Einzelresultanten beweisen sich unschwer so:
z ; 1 ; z = z ; 1 ; 1 ; z = x ; y ; 1 ; 1 ; x ; y = x ; 1 ; 1 ; y = x ; y = z,
wegen y ; 1 = 1 = 1 ; x und x ; 1 = x, 1 ; y = y. Endlich:
(z̄ ɟ 1')(1' ɟ z̄) = (x̄ ɟ ȳ ɟ 1')(1' ɟ x̄ ɟ ȳ) = (x̄ ɟ y)(x ɟ ȳ) = (x̄ ; 1 ɟ 1 ; ȳ)(x ; 1 ɟ 1 ; ȳ) =
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womit die Einordnung von z unter die linke Seite bewiesen ist. Es kamen
hierbei ausser vorerwähnten nur die Gleichungen x̄ ; 1 = x̄, 1 ; ȳ = ȳ aus
3), 4) des § 25 und das Theorem 24) des § 20 in Anwendung.
Die Herleitung der drei Einzelresultanten bei Zugrundelegung andrer
Formen der Charakteristik von i resp. x bietet hübsche Übungsaufgaben
für Anfänger.
Die vereinigte Gleichung der drei gefundnen Einzelresultanten ist:
6) z̄ · z ; 1 ; z + z(z ; 0' + 0' ; z) + 0 ɟ z̄ ɟ 0 = 0.
Dass diese aber in der That die volle Resultante ist, lässt sich wie
folgt beweisen.
Wegen des mittleren Terms ist das Relativ z = (z̄ ɟ 1')z(1' ɟ z̄)
jedenfalls eine „auch umgekehrt niemals mehrdeutige Abbildung“, d. h.
die Augen seiner Matrix sind lauter Kreuzreiter — vergleiche etwa
§ 30 — oder, um uns hier lediglich auf die bekannten Parallelreihen-
sätze zu berufen: wegen z ⋹ z̄ ɟ 1' und z ⋹ 1' ɟ z̄ hat z höchstens ein-
besetzte Zeilen sowol als Kolonnen (neben etwaigen Leerreihen). Wegen
des dritten Terms ist z ≠ 0 und enthält mindestens ein Auge; das
einäugige z erfüllt die Forderung 6). Sobald aber z mehr als einen
Kreuzreiter zu Augen hat, verschwindet der erste Term nicht mehr,
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Augen als dieses enthält.
Irgend zwei (als Kreuzreiter) etwa vorhandene Augen des z steuern
nämlich zu dem Relative z ; 1 ; z = z ; 1 · 1 ; z auch die beiden Augen
bei, welche die beiden andern Ecken des von jenen beiden bestimmten
Reihenrechtecks (oder der zugehörigen Gittermasche) sind und die
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 426. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/440>, abgerufen am 18.02.2025.
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