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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 3. Die fundamentalen Festsetzungen über die 6 Spezies.
binären Relativs, wie sie verbal unter (5) gegeben ist, von vornherein einer
so weiten Auffassung begegnen, dass man sich bei (9) -- ähnlich wie auch
schon bei (6) -- geneigt fühlen wird zu behaupten, diese Konventionen
seien als ausdrückliche gar nicht mehr erforderlich, vielmehr als Selbst-
verständlichkeiten bereits mit dem Übrigen gegeben. Ich will darüber mit
niemand rechten. Der deutlichen und bequemen Bezugnahme halber em-
pfiehlt es sich jedenfalls, beim Chiffriren der fundamentalen Konventionen
liberal, freigebig zuwerke zu gehn und lieber eine zuviel als eine zuwenig
aufzuführen.

Auch von der Konvention (9) wird die Theorie imstande sein lange
Zeit keinen wesentlichen Gebrauch zu machen.


Eine dritte Gruppe von -- 6 -- fundamentalen Festsetzungen
definirt diejenigen binären Relative, welche aus gegebenen vermittelst
der in § 1 erwähnten sechs Spezies oder Grundrechnungsarten ableitbar
sind; sie erklärt die Resultate dieser 6 Operationen (an oder mit binären
Relativen) als wiederum binäre Relative.

Dieselben lauten:
(10)

(ab)i j = ai jbi j(a + b)i j = ai j + bi j
(11) [Formel 1]
(12)
(a ; b)i j = Shai hbh j(a j b)i j = Ph(ai h + bh j)
(13) [Formel 2] ,
und sollen als allgemein, für jedes Suffix ij getroffene Vereinbarungen
verstanden werden, was aussagenrechnerisch bei jeder von diesen Kon-
ventionen -- ähnlich wie schon bei denen (6) .. (9) der vorigen Gruppe --
eigentlich auszudrücken wäre durch ein Zeichen Pi j, vorangeschrieben
der alsdann in Klammern { } zu setzenden Aussage, durch welche vor-
stehend die Konvention statuirt erscheint -- bei der letzten z. B.
mittelst: Pi j{ai j = aj i}.

Im Hinblick auf das unter (5) Gesagte definiren die drei ersten
(10) und (11) von obigen Festsetzungen das identische Produkt a · b
oder ab, ferner die identische Summe a + b zweier Relative a und b,
sowie endlich das Negat ("die Negation") an (gelesen: a strich) eines
Relativs a.

Weil nach bekannten Sätzen des Aussagenkalkuls -- vergleiche
auch den Abacus (3) -- obiges (ab)i j nur gleich 1 sein kann, wenn
ai j und bi j zugleich den Wert 1 haben, wogegen (a + b)i j allemal schon
gleich 1 sein wird, wenn ai j oder bi j den Wert 1 besitzt, so sieht man,
dass das identische Produkt ab dasjenige Relativ sein wird, welches

§ 3. Die fundamentalen Festsetzungen über die 6 Spezies.
binären Relativs, wie sie verbal unter (5) gegeben ist, von vornherein einer
so weiten Auffassung begegnen, dass man sich bei (9) — ähnlich wie auch
schon bei (6) — geneigt fühlen wird zu behaupten, diese Konventionen
seien als ausdrückliche gar nicht mehr erforderlich, vielmehr als Selbst-
verständlichkeiten bereits mit dem Übrigen gegeben. Ich will darüber mit
niemand rechten. Der deutlichen und bequemen Bezugnahme halber em-
pfiehlt es sich jedenfalls, beim Chiffriren der fundamentalen Konventionen
liberal, freigebig zuwerke zu gehn und lieber eine zuviel als eine zuwenig
aufzuführen.

Auch von der Konvention (9) wird die Theorie imstande sein lange
Zeit keinen wesentlichen Gebrauch zu machen.


Eine dritte Gruppe von — 6 — fundamentalen Festsetzungen
definirt diejenigen binären Relative, welche aus gegebenen vermittelst
der in § 1 erwähnten sechs Spezies oder Grundrechnungsarten ableitbar
sind; sie erklärt die Resultate dieser 6 Operationen (an oder mit binären
Relativen) als wiederum binäre Relative.

Dieselben lauten:
(10)

(ab)i j = ai jbi j(a + b)i j = ai j + bi j
(11) [Formel 1]
(12)
(a ; b)i j = Σhai hbh j(a ɟ b)i j = Πh(ai h + bh j)
(13) [Formel 2] ,
und sollen als allgemein, für jedes Suffix ij getroffene Vereinbarungen
verstanden werden, was aussagenrechnerisch bei jeder von diesen Kon-
ventionen — ähnlich wie schon bei denen (6) ‥ (9) der vorigen Gruppe —
eigentlich auszudrücken wäre durch ein Zeichen Πi j, vorangeschrieben
der alsdann in Klammern { } zu setzenden Aussage, durch welche vor-
stehend die Konvention statuirt erscheint — bei der letzten z. B.
mittelst: Πi j{ăi j = aj i}.

Im Hinblick auf das unter (5) Gesagte definiren die drei ersten
(10) und (11) von obigen Festsetzungen das identische Produkt a · b
oder ab, ferner die identische Summe a + b zweier Relative a und b,
sowie endlich das Negat („die Negation“) ā (gelesen: a strich) eines
Relativs a.

Weil nach bekannten Sätzen des Aussagenkalkuls — vergleiche
auch den Abacus (3) — obiges (ab)i j nur gleich 1 sein kann, wenn
ai j und bi j zugleich den Wert 1 haben, wogegen (a + b)i j allemal schon
gleich 1 sein wird, wenn ai j oder bi j den Wert 1 besitzt, so sieht man,
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[29/0043] § 3. Die fundamentalen Festsetzungen über die 6 Spezies. binären Relativs, wie sie verbal unter (5) gegeben ist, von vornherein einer so weiten Auffassung begegnen, dass man sich bei (9) — ähnlich wie auch schon bei (6) — geneigt fühlen wird zu behaupten, diese Konventionen seien als ausdrückliche gar nicht mehr erforderlich, vielmehr als Selbst- verständlichkeiten bereits mit dem Übrigen gegeben. Ich will darüber mit niemand rechten. Der deutlichen und bequemen Bezugnahme halber em- pfiehlt es sich jedenfalls, beim Chiffriren der fundamentalen Konventionen liberal, freigebig zuwerke zu gehn und lieber eine zuviel als eine zuwenig aufzuführen. Auch von der Konvention (9) wird die Theorie imstande sein lange Zeit keinen wesentlichen Gebrauch zu machen. Eine dritte Gruppe von — 6 — fundamentalen Festsetzungen definirt diejenigen binären Relative, welche aus gegebenen vermittelst der in § 1 erwähnten sechs Spezies oder Grundrechnungsarten ableitbar sind; sie erklärt die Resultate dieser 6 Operationen (an oder mit binären Relativen) als wiederum binäre Relative. Dieselben lauten: (10) (ab)i j = ai jbi j (a + b)i j = ai j + bi j (11) [FORMEL] (12) (a ; b)i j = Σhai hbh j (a ɟ b)i j = Πh(ai h + bh j) (13) [FORMEL], und sollen als allgemein, für jedes Suffix ij getroffene Vereinbarungen verstanden werden, was aussagenrechnerisch bei jeder von diesen Kon- ventionen — ähnlich wie schon bei denen (6) ‥ (9) der vorigen Gruppe — eigentlich auszudrücken wäre durch ein Zeichen Πi j, vorangeschrieben der alsdann in Klammern { } zu setzenden Aussage, durch welche vor- stehend die Konvention statuirt erscheint — bei der letzten z. B. mittelst: Πi j{ăi j = aj i}. Im Hinblick auf das unter (5) Gesagte definiren die drei ersten (10) und (11) von obigen Festsetzungen das identische Produkt a · b oder ab, ferner die identische Summe a + b zweier Relative a und b, sowie endlich das Negat („die Negation“) ā (gelesen: a strich) eines Relativs a. Weil nach bekannten Sätzen des Aussagenkalkuls — vergleiche auch den Abacus (3) — obiges (ab)i j nur gleich 1 sein kann, wenn ai j und bi j zugleich den Wert 1 haben, wogegen (a + b)i j allemal schon gleich 1 sein wird, wenn ai j oder bi j den Wert 1 besitzt, so sieht man, dass das identische Produkt ab dasjenige Relativ sein wird, welches

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 29. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/43>, abgerufen am 09.11.2024.