Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 25. Wichtige Sätze über Elemente.

Nunmehr sind wir auch in der Lage diejenigen Sätze zu begründen,
auf welchen es beruht, dass solch ein „Einzeiler“ in unsrer Theorie der
binären Relative gedeutet werden kann als „Element“ i des ersten
Denkbereiches, dass er jederzeit hingestellt werden darf als der Re-
präsentant dieses Elementes.

Um als zulässig zu erscheinen, muss solche Deutung des Einzeilers
sich in allen Stücken als mit der „rhetorischen Evidenz“ (cf. § 4) ver-
einbar, im Einklange erweisen — wozu ein Mehreres gehört.

Zuvörderst müssen gleichwie die Elemente, so auch die Einzeiler
sämtlich vom Nichts verschieden, verschiedene auch unter sich disjunkt
sein. Dies ist in der That für die Einzeiler bereits mit 5) und 16)
erwiesen.

Weiter aber müssen die drei Möglichkeiten, über welche unsre
Theorie Verfügung gewann, um auszudrücken, dass i ein a von j sei,
sich für die Einzeiler i, j als äquivalent erweisen zu lassen. Die drei
Möglichkeiten rekapitulirt und ihre Äquivalenz statuirt der (funda-
mentale) Satz:
17) (a_{i j} = 1), = a_{i j} = (i ⋹ a ; j) = (i : j ⋹ a).

Über die erste von diesen drei Gleichungen als eine ja schon
durch den Aussagenkalkul gegebene brauchen wir kein Wort zu ver-
lieren. Die zweite beweist sich wie folgt. Es ist:
(i ⋹ a ; j) = Π_{h k}(i_{h k} ⋹ Σ_la_{h l}j_{l k}) = Π_{h k}(1'_{i h} ⋹ Σ_la_{h l}1'_{j l}) =
= Π_h(1'_{i h} ⋹ a_{h j}) = (1'_{i i} ⋹ a_{i j}) = (1 ⋹ a_{i j}) = a_{i j}.

Dem Beweise der dritten Äquivalenz wollen wir einen wichtigen
Satz voranschicken:
18) i : j = i ; j̆ = ij̆.

Beweis. Nach der fundamentalen Festsetzung 9) des § 3 ist:
(i : j)_{h k} = 1'_{i h}1'_{j k} und dies = i_{h k}j_{k h} = (ij̆)_{h k}. Somit ist i : j = ij̆ be-
wiesen, und dass das identische Produkt von i und j̆ mit dem relativen
i ; j̆ übereinstimmt sahen wir bereits mit Satz 11) ein.

Nach diesem merkwürdigen Satze lässt sich das individuelle binäre
Relativ i : j auch mittelst der 6 Spezies unsrer Theorie durch i und j
ausdrücken; es wird der Doppelpunkt als apartes Knüpfungszeichen —
nachträglich — entbehrlich, nämlich in der That entbehrlich gemacht
schon durch die beiden Spezies: der Konversion und der sei es relativen,
sei es identischen Multiplikation.

Um 18) zu einem Gespann zu ergänzen, müsste noch hinter einem
Mittelstriche angefügt werden: i̅ :̅ j̅ = ī ɟ j̄̆ = ī + j̄̆.