lauter Leerzeilen haben und x = 0 sein. Dieser Wert genügt aber der fraglichen Charakteristik nicht, verwandelt sie vielmehr in die absurde Gleichung 1 = 0. Folglich muss x mindestens eine Vollzeile haben. Sei durch i solche markirt, mithin xi k = 1 für jedes k, so ist leicht zu zeigen, dass x keine zweite Vollzeile haben kann, vielmehr alle übrigen Zeilen von x ausser der iten dann Leerzeilen sein müssen.
Denn markirt li irgend eine andre Zeile, so werden wir haben: xl j = Ph(1'l h + Skxnh k) -- worin nur der dem Werte h = l entsprechende Faktor des Produktes P wegen 1'l l = 1 ineffektiv ist, für jedes hl dagegen ein nicht zu vernach- lässigender Faktor hervorspringt. Ein solches hl ist aber (wegen il) unfehlbar der Wert h = i. D. h. unser xl j repräsentirendes Produkt hat jedenfalls zum Faktor 1'l i + Skxni k, welches = 0, weil 1'l i = 0 für li und jedes xni k = 0 sein muss, als Negation des oben = 1 statuirten xi k. Mithin verschwindet auch das ganze Produkt und haben wir bei beliebigem j neben xi j = 1 auch xl j = 0 für jedes li; d. h. x ist (= i) ein Einzeiler, wie behauptet worden.
Man kann den Satz auch durch die Formel darstellen: 8) (1' j xn ; 1 = x) = Si(x = i), und wird er auch in dieser Fassung als rückwärtige Aussagensubsumtion durch das Frühere, als vorwärtige durch die Überlegung des letzten Kontextes für bewiesen zu erachten sein. Selbstverständlich kann in jedem Falle nur ein Glied der Alternative rechterhand den Wahrheits- wert 1 haben.
Will man x = i als einen Einzeiler, anstatt durch eine der etwas komplizirten Gleichungen 7), lieber durch zwei zusammenbestehende einfachere Gleichungen charakterisiren, so braucht man nur von den 2 + 4 = 6 folgenden eine links vom Striche zu nehmen und mit irgend einer rechts davon zu verbinden:
x ; 1 = x
1' j xn = x
x j 0 = x
0' ; x = xn
xn ; 1 = xn
xn j 0 = xn.
Denn durch Einsetzung des Wertes von x oder xn aus der einen in die andre Gleichung ergibt sich allemal eine der Gleichungsformen 6) -- x für i gesagt -- und ferner sind die vorstehenden für x = i erfüllt.
Beispielsweise charakterisirt also auch die Doppelgleichung: 1' j xn = = x = x ; 1, ebenso die Gleichung x · 0' ; x = 0 nebst der Subsumtion x ; 1 + 1' j xnx, etc. das x als einen Einzeiler. --
Zehnte Vorlesung.
lauter Leerzeilen haben und x = 0 sein. Dieser Wert genügt aber der fraglichen Charakteristik nicht, verwandelt sie vielmehr in die absurde Gleichung 1 = 0. Folglich muss x mindestens eine Vollzeile haben. Sei durch i solche markirt, mithin xi k = 1 für jedes k, so ist leicht zu zeigen, dass x keine zweite Vollzeile haben kann, vielmehr alle übrigen Zeilen von x ausser der iten dann Leerzeilen sein müssen.
Denn markirt l ≠ i irgend eine andre Zeile, so werden wir haben: xl j = Πh(1'l h + Σkx̄h k) — worin nur der dem Werte h = l entsprechende Faktor des Produktes Π wegen 1'l l = 1 ineffektiv ist, für jedes h ≠ l dagegen ein nicht zu vernach- lässigender Faktor hervorspringt. Ein solches h ≠ l ist aber (wegen i ≠ l) unfehlbar der Wert h = i. D. h. unser xl j repräsentirendes Produkt hat jedenfalls zum Faktor 1'l i + Σkx̄i k, welches = 0, weil 1'l i = 0 für l ≠ i und jedes x̄i k = 0 sein muss, als Negation des oben = 1 statuirten xi k. Mithin verschwindet auch das ganze Produkt und haben wir bei beliebigem j neben xi j = 1 auch xl j = 0 für jedes l ≠ i; d. h. x ist (= i) ein Einzeiler, wie behauptet worden.
Man kann den Satz auch durch die Formel darstellen: 8) (1' ɟ x̄ ; 1 = x) = Σi(x = i), und wird er auch in dieser Fassung als rückwärtige Aussagensubsumtion durch das Frühere, als vorwärtige durch die Überlegung des letzten Kontextes für bewiesen zu erachten sein. Selbstverständlich kann in jedem Falle nur ein Glied der Alternative rechterhand den Wahrheits- wert 1 haben.
Will man x = i als einen Einzeiler, anstatt durch eine der etwas komplizirten Gleichungen 7), lieber durch zwei zusammenbestehende einfachere Gleichungen charakterisiren, so braucht man nur von den 2 + 4 = 6 folgenden eine links vom Striche zu nehmen und mit irgend einer rechts davon zu verbinden:
x ; 1 = x
1' ɟ x̄ = x
x ɟ 0 = x
0' ; x = x̄
x̄ ; 1 = x̄
x̄ ɟ 0 = x̄.
Denn durch Einsetzung des Wertes von x oder x̄ aus der einen in die andre Gleichung ergibt sich allemal eine der Gleichungsformen 6) — x für i gesagt — und ferner sind die vorstehenden für x = i erfüllt.
Beispielsweise charakterisirt also auch die Doppelgleichung: 1' ɟ x̄ = = x = x ; 1, ebenso die Gleichung x · 0' ; x = 0 nebst der Subsumtion x ; 1 + 1' ɟ x̄ ⋹ x, etc. das x als einen Einzeiler. —
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Zehnte Vorlesung.
lauter Leerzeilen haben und x = 0 sein. Dieser Wert genügt aber der
fraglichen Charakteristik nicht, verwandelt sie vielmehr in die absurde
Gleichung 1 = 0. Folglich muss x mindestens eine Vollzeile haben. Sei
durch i solche markirt, mithin xi k = 1 für jedes k, so ist leicht zu zeigen,
dass x keine zweite Vollzeile haben kann, vielmehr alle übrigen Zeilen
von x ausser der iten dann Leerzeilen sein müssen.
Denn markirt l ≠ i irgend eine andre Zeile, so werden wir haben:
xl j = Πh(1'l h + Σkx̄h k)
— worin nur der dem Werte h = l entsprechende Faktor des Produktes Π
wegen 1'l l = 1 ineffektiv ist, für jedes h ≠ l dagegen ein nicht zu vernach-
lässigender Faktor hervorspringt. Ein solches h ≠ l ist aber (wegen i ≠ l)
unfehlbar der Wert h = i. D. h. unser xl j repräsentirendes Produkt hat
jedenfalls zum Faktor
1'l i + Σkx̄i k, welches = 0,
weil 1'l i = 0 für l ≠ i und jedes x̄i k = 0 sein muss, als Negation des oben
= 1 statuirten xi k. Mithin verschwindet auch das ganze Produkt und
haben wir bei beliebigem j neben xi j = 1 auch xl j = 0 für jedes l ≠ i;
d. h. x ist (= i) ein Einzeiler, wie behauptet worden.
Man kann den Satz auch durch die Formel darstellen:
8) (1' ɟ x̄ ; 1 = x) = Σi(x = i),
und wird er auch in dieser Fassung als rückwärtige Aussagensubsumtion
durch das Frühere, als vorwärtige durch die Überlegung des letzten
Kontextes für bewiesen zu erachten sein. Selbstverständlich kann in
jedem Falle nur ein Glied der Alternative rechterhand den Wahrheits-
wert 1 haben.
Will man x = i als einen Einzeiler, anstatt durch eine der etwas
komplizirten Gleichungen 7), lieber durch zwei zusammenbestehende
einfachere Gleichungen charakterisiren, so braucht man nur von den
2 + 4 = 6 folgenden eine links vom Striche zu nehmen und mit irgend
einer rechts davon zu verbinden:
x ; 1 = x
1' ɟ x̄ = x x ɟ 0 = x
0' ; x = x̄ x̄ ; 1 = x̄
x̄ ɟ 0 = x̄.
Denn durch Einsetzung des Wertes von x oder x̄ aus der einen
in die andre Gleichung ergibt sich allemal eine der Gleichungsformen 6)
— x für i gesagt — und ferner sind die vorstehenden für x = i erfüllt.
Beispielsweise charakterisirt also auch die Doppelgleichung: 1' ɟ x̄ =
= x = x ; 1, ebenso die Gleichung x · 0' ; x = 0 nebst der Subsumtion
x ; 1 + 1' ɟ x̄ ⋹ x, etc. das x als einen Einzeiler. —
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 410. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/424>, abgerufen am 25.08.2024.
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