Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:
<< vorherige Seite

§ 25. Charakteristik des Elementes.
1' j xn = x, (1' j xn) ; 1 = x ; 1, also (1' j xn) ; 1 = x,
-- womit die dritte Gleichung aus der zweiten abgeleitet ist.

Sei endlich: (1' j xn) ; 1 = x, also 0' ; x j 0 = xn, so folgt:
(0' ; x j 0) ; 1 = xn ; 1, 0' ; x j 0 = xn ; 1, xn ; 1 = xn, 1' j xn ; 1 = 1' j xn.

Aber laut Hyp. ist einerseits:
0' ; (1' j xn) ; 1 j 0 = xn, also 0' ; (1' j xn) ; 1 = xn,
andrerseits 0' ; (1' j xn) ; 1 = 0' ; x, somit 0' ; x = xn,
1' j xn = x, mithin oben 1' j xn ; 1 = x,
-- womit auch die erste Gleichung aus der dritten abgeleitet ist, q. e. d.

Zur Übung wolle der Leser die Sätze auch in der umgekehrten Ring-
folge auseinander ableiten.

Nebenher sei hier konstatirt -- was wir teilweise schon unter-
weges sahen -- dass die Gesetze 2), 3) aller Modulknüpfungen von
x = i auch aus unsrer Charakteristik 7) rein analytisch-rechnerisch
folgen.

Und zwar die der ersten Zeilen x ; 1 = x = x j 0, x ; 0' = x = x j 1'
schon nach dem Abacus bei Benutzung einer geeigneten (der zweiten oder
dritten) von den drei als äquivalent nachgewiesnen Formen.

Um 1 ; x = 1 zu gewinnen verhilft die Überlegung:
1 ; x = 1 ; x ; 1 = 1' ; x ; 1 + 0' ; x ; 1 = x ; 1 + xn = x + xn = 1, weil 0' ; x ; 1 = xn
nach einer von den drei Charakteristikformen. Damit ist dann auch die
Konsequenz 5) oder 1 ; x ; 1 = 1 also x 0 gezogen.

Weiter ist sodann: 0 j x = 0 j 1' j xn j 0 = 0 j xn j 0 = 0,
0' ; x = 0' ; (x j 0) = xn, 1' j x = 1' j 1' j xn ; 1 = 0 j xn ; 1 = 0 j xn = 0
gefunden.

Nunmehr braucht blos noch von einer der drei Gleichungen 7),
z. B. von der ersten, gezeigt zu werden, dass, wie sie einerseits mittelst
2) und 3) als für x = i gültig aus 1) floss, sie andrerseits generell
auch 1) bedingt, nämlich dass sie ausreicht, x zum Einzeiler zu stem-
peln, also dass das ihr genügende Relativ x notwendig ein solcher --
irgend ein Einzeiler, mag man ihn i oder anders (j, h, ...) nennen --
sein muss. M. a. W. nachdem erkannt ist, dass der Gleichung
1' j xn ; 1 = x jeder Einzeiler genügt, muss auch noch gezeigt werden,
dass ihr nur Einzeiler genügen können.

Dies gelingt unschwer wie folgt. Es ist
xi j = Ph(1'i h + Skxnh k)
augenscheinlich vom zweiten Suffixe j unabhängig, somit xi j = xi l für
jedes l, und folgt wie oben unter 1), dass das Relativ x nur aus Voll-
und Leerzeilen bestehen kann. Hätte es nun keine Vollzeile, so müsste es

§ 25. Charakteristik des Elementes.
1' ɟ = x, (1' ɟ ) ; 1 = x ; 1, also (1' ɟ ) ; 1 = x,
— womit die dritte Gleichung aus der zweiten abgeleitet ist.

Sei endlich: (1' ɟ ) ; 1 = x, also 0' ; x ɟ 0 = , so folgt:
(0' ; x ɟ 0) ; 1 = ; 1, 0' ; x ɟ 0 = ; 1, ; 1 = , 1' ɟ ; 1 = 1' ɟ .

Aber laut Hyp. ist einerseits:
0' ; (1' ɟ ) ; 1 ɟ 0 = , also 0' ; (1' ɟ ) ; 1 = ,
andrerseits 0' ; (1' ɟ ) ; 1 = 0' ; x, somit 0' ; x = ,
1' ɟ = x, mithin oben 1' ɟ ; 1 = x,
— womit auch die erste Gleichung aus der dritten abgeleitet ist, q. e. d.

Zur Übung wolle der Leser die Sätze auch in der umgekehrten Ring-
folge auseinander ableiten.

Nebenher sei hier konstatirt — was wir teilweise schon unter-
weges sahen — dass die Gesetze 2), 3) aller Modulknüpfungen von
x = i auch aus unsrer Charakteristik 7) rein analytisch-rechnerisch
folgen.

Und zwar die der ersten Zeilen x ; 1 = x = x ɟ 0, x ; 0' = x = x ɟ 1'
schon nach dem Abacus bei Benutzung einer geeigneten (der zweiten oder
dritten) von den drei als äquivalent nachgewiesnen Formen.

Um 1 ; x = 1 zu gewinnen verhilft die Überlegung:
1 ; x = 1 ; x ; 1 = 1' ; x ; 1 + 0' ; x ; 1 = x ; 1 + = x + = 1, weil 0' ; x ; 1 =
nach einer von den drei Charakteristikformen. Damit ist dann auch die
Konsequenz 5) oder 1 ; x ; 1 = 1 also x ≠ 0 gezogen.

Weiter ist sodann: 0 ɟ x = 0 ɟ 1' ɟ ɟ 0 = 0 ɟ ɟ 0 = 0,
0' ; x = 0' ; (x ɟ 0) = , 1' ɟ x = 1' ɟ 1' ɟ ; 1 = 0 ɟ ; 1 = 0 ɟ = 0
gefunden.

Nunmehr braucht blos noch von einer der drei Gleichungen 7),
z. B. von der ersten, gezeigt zu werden, dass, wie sie einerseits mittelst
2) und 3) als für x = i gültig aus 1) floss, sie andrerseits generell
auch 1) bedingt, nämlich dass sie ausreicht, x zum Einzeiler zu stem-
peln, also dass das ihr genügende Relativ x notwendig ein solcher —
irgend ein Einzeiler, mag man ihn i oder anders (j, h, …) nennen —
sein muss. M. a. W. nachdem erkannt ist, dass der Gleichung
1' ɟ ; 1 = x jeder Einzeiler genügt, muss auch noch gezeigt werden,
dass ihr nur Einzeiler genügen können.

Dies gelingt unschwer wie folgt. Es ist
xi j = Πh(1'i h + Σkh k)
augenscheinlich vom zweiten Suffixe j unabhängig, somit xi j = xi l für
jedes l, und folgt wie oben unter 1), dass das Relativ x nur aus Voll-
und Leerzeilen bestehen kann. Hätte es nun keine Vollzeile, so müsste es

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0423" n="409"/><fw place="top" type="header">§ 25. Charakteristik des Elementes.</fw><lb/><hi rendition="#c">1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> = <hi rendition="#i">x</hi>, (1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>) ; 1 = <hi rendition="#i">x</hi> ; 1, also (1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>) ; 1 = <hi rendition="#i">x</hi>,</hi><lb/>
&#x2014; womit die dritte Gleichung aus der zweiten abgeleitet ist.</p><lb/>
          <p>Sei endlich: (1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>) ; 1 = <hi rendition="#i">x</hi>, also 0' ; <hi rendition="#i">x</hi> &#x025F; 0 = <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>, so folgt:<lb/><hi rendition="#c">(0' ; <hi rendition="#i">x</hi> &#x025F; 0) ; 1 = <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> ; 1, 0' ; <hi rendition="#i">x</hi> &#x025F; 0 = <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> ; 1, <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>, 1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> ; 1 = 1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>.</hi></p><lb/>
          <p>Aber laut Hyp. ist einerseits:<lb/><hi rendition="#c">0' ; (1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>) ; 1 &#x025F; 0 = <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>, also 0' ; (1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>) ; 1 = <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>,</hi><lb/>
andrerseits 0' ; (1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>) ; 1 = 0' ; <hi rendition="#i">x</hi>, somit 0' ; <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>,<lb/><hi rendition="#c">1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> = <hi rendition="#i">x</hi>, mithin oben 1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">x</hi>,</hi><lb/>
&#x2014; womit auch die erste Gleichung aus der dritten abgeleitet ist, q. e. d.</p><lb/>
          <p>Zur Übung wolle der Leser die Sätze auch in der umgekehrten Ring-<lb/>
folge auseinander ableiten.</p><lb/>
          <p>Nebenher sei hier konstatirt &#x2014; was wir teilweise schon unter-<lb/>
weges sahen &#x2014; dass die Gesetze 2), 3) aller Modulknüpfungen von<lb/><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">i</hi> auch aus unsrer Charakteristik 7) rein analytisch-rechnerisch<lb/>
folgen.</p><lb/>
          <p>Und zwar die der ersten Zeilen <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> &#x025F; 0, <hi rendition="#i">x</hi> ; 0' = <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> &#x025F; 1'<lb/>
schon nach dem Abacus bei Benutzung einer geeigneten (der zweiten oder<lb/>
dritten) von den drei als äquivalent nachgewiesnen Formen.</p><lb/>
          <p>Um 1 ; <hi rendition="#i">x</hi> = 1 zu gewinnen verhilft die Überlegung:<lb/>
1 ; <hi rendition="#i">x</hi> = 1 ; <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 = 1' ; <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 + 0' ; <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 + <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> = 1, weil 0' ; <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi><lb/>
nach einer von den drei Charakteristikformen. Damit ist dann auch die<lb/>
Konsequenz 5) oder 1 ; <hi rendition="#i">x</hi> ; 1 = 1 also <hi rendition="#i">x</hi> &#x2260; 0 gezogen.</p><lb/>
          <p>Weiter ist sodann: 0 &#x025F; <hi rendition="#i">x</hi> = 0 &#x025F; 1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> &#x025F; 0 = 0 &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> &#x025F; 0 = 0,<lb/><hi rendition="#c">0' ; <hi rendition="#i">x</hi> = 0' ; (<hi rendition="#i">x</hi> &#x025F; 0) = <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>, 1' &#x025F; <hi rendition="#i">x</hi> = 1' &#x025F; 1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> ; 1 = 0 &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> ; 1 = 0 &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> = 0</hi><lb/>
gefunden.</p><lb/>
          <p>Nunmehr braucht blos noch von einer der drei Gleichungen 7),<lb/>
z. B. von der ersten, gezeigt zu werden, dass, wie sie einerseits mittelst<lb/>
2) und 3) als für <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">i</hi> gültig aus 1) floss, sie andrerseits generell<lb/>
auch 1) bedingt, nämlich dass sie ausreicht, <hi rendition="#i">x</hi> zum Einzeiler zu stem-<lb/>
peln, also dass das ihr genügende Relativ <hi rendition="#i">x</hi> notwendig ein solcher &#x2014;<lb/><hi rendition="#i">irgend ein</hi> Einzeiler, mag man ihn <hi rendition="#i">i</hi> oder anders (<hi rendition="#i">j</hi>, <hi rendition="#i">h</hi>, &#x2026;) nennen &#x2014;<lb/>
sein muss. M. a. W. nachdem erkannt ist, dass der Gleichung<lb/>
1' &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">x jeder</hi> Einzeiler genügt, muss auch noch gezeigt werden,<lb/>
dass ihr <hi rendition="#i">nur</hi> Einzeiler genügen können.</p><lb/>
          <p>Dies gelingt unschwer wie folgt. Es ist<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">i j</hi></hi> = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i h</hi></hi> + <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">k</hi>x&#x0304;<hi rendition="#sub">h k</hi></hi>)</hi><lb/>
augenscheinlich vom zweiten Suffixe <hi rendition="#i">j</hi> unabhängig, somit <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">i j</hi></hi> = <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">i l</hi></hi> für<lb/>
jedes <hi rendition="#i">l</hi>, und folgt wie oben unter 1), dass das Relativ <hi rendition="#i">x</hi> nur aus Voll-<lb/>
und Leerzeilen bestehen kann. Hätte es nun <hi rendition="#i">keine</hi> Vollzeile, so müsste es<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[409/0423] § 25. Charakteristik des Elementes. 1' ɟ x̄ = x, (1' ɟ x̄) ; 1 = x ; 1, also (1' ɟ x̄) ; 1 = x, — womit die dritte Gleichung aus der zweiten abgeleitet ist. Sei endlich: (1' ɟ x̄) ; 1 = x, also 0' ; x ɟ 0 = x̄, so folgt: (0' ; x ɟ 0) ; 1 = x̄ ; 1, 0' ; x ɟ 0 = x̄ ; 1, x̄ ; 1 = x̄, 1' ɟ x̄ ; 1 = 1' ɟ x̄. Aber laut Hyp. ist einerseits: 0' ; (1' ɟ x̄) ; 1 ɟ 0 = x̄, also 0' ; (1' ɟ x̄) ; 1 = x̄, andrerseits 0' ; (1' ɟ x̄) ; 1 = 0' ; x, somit 0' ; x = x̄, 1' ɟ x̄ = x, mithin oben 1' ɟ x̄ ; 1 = x, — womit auch die erste Gleichung aus der dritten abgeleitet ist, q. e. d. Zur Übung wolle der Leser die Sätze auch in der umgekehrten Ring- folge auseinander ableiten. Nebenher sei hier konstatirt — was wir teilweise schon unter- weges sahen — dass die Gesetze 2), 3) aller Modulknüpfungen von x = i auch aus unsrer Charakteristik 7) rein analytisch-rechnerisch folgen. Und zwar die der ersten Zeilen x ; 1 = x = x ɟ 0, x ; 0' = x = x ɟ 1' schon nach dem Abacus bei Benutzung einer geeigneten (der zweiten oder dritten) von den drei als äquivalent nachgewiesnen Formen. Um 1 ; x = 1 zu gewinnen verhilft die Überlegung: 1 ; x = 1 ; x ; 1 = 1' ; x ; 1 + 0' ; x ; 1 = x ; 1 + x̄ = x + x̄ = 1, weil 0' ; x ; 1 = x̄ nach einer von den drei Charakteristikformen. Damit ist dann auch die Konsequenz 5) oder 1 ; x ; 1 = 1 also x ≠ 0 gezogen. Weiter ist sodann: 0 ɟ x = 0 ɟ 1' ɟ x̄ ɟ 0 = 0 ɟ x̄ ɟ 0 = 0, 0' ; x = 0' ; (x ɟ 0) = x̄, 1' ɟ x = 1' ɟ 1' ɟ x̄ ; 1 = 0 ɟ x̄ ; 1 = 0 ɟ x̄ = 0 gefunden. Nunmehr braucht blos noch von einer der drei Gleichungen 7), z. B. von der ersten, gezeigt zu werden, dass, wie sie einerseits mittelst 2) und 3) als für x = i gültig aus 1) floss, sie andrerseits generell auch 1) bedingt, nämlich dass sie ausreicht, x zum Einzeiler zu stem- peln, also dass das ihr genügende Relativ x notwendig ein solcher — irgend ein Einzeiler, mag man ihn i oder anders (j, h, …) nennen — sein muss. M. a. W. nachdem erkannt ist, dass der Gleichung 1' ɟ x̄ ; 1 = x jeder Einzeiler genügt, muss auch noch gezeigt werden, dass ihr nur Einzeiler genügen können. Dies gelingt unschwer wie folgt. Es ist xi j = Πh(1'i h + Σkx̄h k) augenscheinlich vom zweiten Suffixe j unabhängig, somit xi j = xi l für jedes l, und folgt wie oben unter 1), dass das Relativ x nur aus Voll- und Leerzeilen bestehen kann. Hätte es nun keine Vollzeile, so müsste es

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/423
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 409. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/423>, abgerufen am 23.11.2024.