1' j xn = x, (1' j xn) ; 1 = x ; 1, also (1' j xn) ; 1 = x, -- womit die dritte Gleichung aus der zweiten abgeleitet ist.
Sei endlich: (1' j xn) ; 1 = x, also 0' ; x j 0 = xn, so folgt: (0' ; x j 0) ; 1 = xn ; 1, 0' ; x j 0 = xn ; 1, xn ; 1 = xn, 1' j xn ; 1 = 1' j xn.
Aber laut Hyp. ist einerseits: 0' ; (1' j xn) ; 1 j 0 = xn, also 0' ; (1' j xn) ; 1 = xn, andrerseits 0' ; (1' j xn) ; 1 = 0' ; x, somit 0' ; x = xn, 1' j xn = x, mithin oben 1' j xn ; 1 = x, -- womit auch die erste Gleichung aus der dritten abgeleitet ist, q. e. d.
Zur Übung wolle der Leser die Sätze auch in der umgekehrten Ring- folge auseinander ableiten.
Nebenher sei hier konstatirt -- was wir teilweise schon unter- weges sahen -- dass die Gesetze 2), 3) aller Modulknüpfungen von x = i auch aus unsrer Charakteristik 7) rein analytisch-rechnerisch folgen.
Und zwar die der ersten Zeilen x ; 1 = x = x j 0, x ; 0' = x = x j 1' schon nach dem Abacus bei Benutzung einer geeigneten (der zweiten oder dritten) von den drei als äquivalent nachgewiesnen Formen.
Um 1 ; x = 1 zu gewinnen verhilft die Überlegung: 1 ; x = 1 ; x ; 1 = 1' ; x ; 1 + 0' ; x ; 1 = x ; 1 + xn = x + xn = 1, weil 0' ; x ; 1 = xn nach einer von den drei Charakteristikformen. Damit ist dann auch die Konsequenz 5) oder 1 ; x ; 1 = 1 also x 0 gezogen.
Nunmehr braucht blos noch von einer der drei Gleichungen 7), z. B. von der ersten, gezeigt zu werden, dass, wie sie einerseits mittelst 2) und 3) als für x = i gültig aus 1) floss, sie andrerseits generell auch 1) bedingt, nämlich dass sie ausreicht, x zum Einzeiler zu stem- peln, also dass das ihr genügende Relativ x notwendig ein solcher -- irgend ein Einzeiler, mag man ihn i oder anders (j, h, ...) nennen -- sein muss. M. a. W. nachdem erkannt ist, dass der Gleichung 1' j xn ; 1 = x jeder Einzeiler genügt, muss auch noch gezeigt werden, dass ihr nur Einzeiler genügen können.
Dies gelingt unschwer wie folgt. Es ist xi j = Ph(1'i h + Skxnh k) augenscheinlich vom zweiten Suffixe j unabhängig, somit xi j = xi l für jedes l, und folgt wie oben unter 1), dass das Relativ x nur aus Voll- und Leerzeilen bestehen kann. Hätte es nun keine Vollzeile, so müsste es
§ 25. Charakteristik des Elementes.
1' ɟ x̄ = x, (1' ɟ x̄) ; 1 = x ; 1, also (1' ɟ x̄) ; 1 = x, — womit die dritte Gleichung aus der zweiten abgeleitet ist.
Sei endlich: (1' ɟ x̄) ; 1 = x, also 0' ; x ɟ 0 = x̄, so folgt: (0' ; x ɟ 0) ; 1 = x̄ ; 1, 0' ; x ɟ 0 = x̄ ; 1, x̄ ; 1 = x̄, 1' ɟ x̄ ; 1 = 1' ɟ x̄.
Aber laut Hyp. ist einerseits: 0' ; (1' ɟ x̄) ; 1 ɟ 0 = x̄, also 0' ; (1' ɟ x̄) ; 1 = x̄, andrerseits 0' ; (1' ɟ x̄) ; 1 = 0' ; x, somit 0' ; x = x̄, 1' ɟ x̄ = x, mithin oben 1' ɟ x̄ ; 1 = x, — womit auch die erste Gleichung aus der dritten abgeleitet ist, q. e. d.
Zur Übung wolle der Leser die Sätze auch in der umgekehrten Ring- folge auseinander ableiten.
Nebenher sei hier konstatirt — was wir teilweise schon unter- weges sahen — dass die Gesetze 2), 3) aller Modulknüpfungen von x = i auch aus unsrer Charakteristik 7) rein analytisch-rechnerisch folgen.
Und zwar die der ersten Zeilen x ; 1 = x = x ɟ 0, x ; 0' = x = x ɟ 1' schon nach dem Abacus bei Benutzung einer geeigneten (der zweiten oder dritten) von den drei als äquivalent nachgewiesnen Formen.
Um 1 ; x = 1 zu gewinnen verhilft die Überlegung: 1 ; x = 1 ; x ; 1 = 1' ; x ; 1 + 0' ; x ; 1 = x ; 1 + x̄ = x + x̄ = 1, weil 0' ; x ; 1 = x̄ nach einer von den drei Charakteristikformen. Damit ist dann auch die Konsequenz 5) oder 1 ; x ; 1 = 1 also x ≠ 0 gezogen.
Nunmehr braucht blos noch von einer der drei Gleichungen 7), z. B. von der ersten, gezeigt zu werden, dass, wie sie einerseits mittelst 2) und 3) als für x = i gültig aus 1) floss, sie andrerseits generell auch 1) bedingt, nämlich dass sie ausreicht, x zum Einzeiler zu stem- peln, also dass das ihr genügende Relativ x notwendig ein solcher — irgend ein Einzeiler, mag man ihn i oder anders (j, h, …) nennen — sein muss. M. a. W. nachdem erkannt ist, dass der Gleichung 1' ɟ x̄ ; 1 = x jeder Einzeiler genügt, muss auch noch gezeigt werden, dass ihr nur Einzeiler genügen können.
Dies gelingt unschwer wie folgt. Es ist xi j = Πh(1'i h + Σkx̄h k) augenscheinlich vom zweiten Suffixe j unabhängig, somit xi j = xi l für jedes l, und folgt wie oben unter 1), dass das Relativ x nur aus Voll- und Leerzeilen bestehen kann. Hätte es nun keine Vollzeile, so müsste es
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§ 25. Charakteristik des Elementes.
1' ɟ x̄ = x, (1' ɟ x̄) ; 1 = x ; 1, also (1' ɟ x̄) ; 1 = x,
— womit die dritte Gleichung aus der zweiten abgeleitet ist.
Sei endlich: (1' ɟ x̄) ; 1 = x, also 0' ; x ɟ 0 = x̄, so folgt:
(0' ; x ɟ 0) ; 1 = x̄ ; 1, 0' ; x ɟ 0 = x̄ ; 1, x̄ ; 1 = x̄, 1' ɟ x̄ ; 1 = 1' ɟ x̄.
Aber laut Hyp. ist einerseits:
0' ; (1' ɟ x̄) ; 1 ɟ 0 = x̄, also 0' ; (1' ɟ x̄) ; 1 = x̄,
andrerseits 0' ; (1' ɟ x̄) ; 1 = 0' ; x, somit 0' ; x = x̄,
1' ɟ x̄ = x, mithin oben 1' ɟ x̄ ; 1 = x,
— womit auch die erste Gleichung aus der dritten abgeleitet ist, q. e. d.
Zur Übung wolle der Leser die Sätze auch in der umgekehrten Ring-
folge auseinander ableiten.
Nebenher sei hier konstatirt — was wir teilweise schon unter-
weges sahen — dass die Gesetze 2), 3) aller Modulknüpfungen von
x = i auch aus unsrer Charakteristik 7) rein analytisch-rechnerisch
folgen.
Und zwar die der ersten Zeilen x ; 1 = x = x ɟ 0, x ; 0' = x = x ɟ 1'
schon nach dem Abacus bei Benutzung einer geeigneten (der zweiten oder
dritten) von den drei als äquivalent nachgewiesnen Formen.
Um 1 ; x = 1 zu gewinnen verhilft die Überlegung:
1 ; x = 1 ; x ; 1 = 1' ; x ; 1 + 0' ; x ; 1 = x ; 1 + x̄ = x + x̄ = 1, weil 0' ; x ; 1 = x̄
nach einer von den drei Charakteristikformen. Damit ist dann auch die
Konsequenz 5) oder 1 ; x ; 1 = 1 also x ≠ 0 gezogen.
Weiter ist sodann: 0 ɟ x = 0 ɟ 1' ɟ x̄ ɟ 0 = 0 ɟ x̄ ɟ 0 = 0,
0' ; x = 0' ; (x ɟ 0) = x̄, 1' ɟ x = 1' ɟ 1' ɟ x̄ ; 1 = 0 ɟ x̄ ; 1 = 0 ɟ x̄ = 0
gefunden.
Nunmehr braucht blos noch von einer der drei Gleichungen 7),
z. B. von der ersten, gezeigt zu werden, dass, wie sie einerseits mittelst
2) und 3) als für x = i gültig aus 1) floss, sie andrerseits generell
auch 1) bedingt, nämlich dass sie ausreicht, x zum Einzeiler zu stem-
peln, also dass das ihr genügende Relativ x notwendig ein solcher —
irgend ein Einzeiler, mag man ihn i oder anders (j, h, …) nennen —
sein muss. M. a. W. nachdem erkannt ist, dass der Gleichung
1' ɟ x̄ ; 1 = x jeder Einzeiler genügt, muss auch noch gezeigt werden,
dass ihr nur Einzeiler genügen können.
Dies gelingt unschwer wie folgt. Es ist
xi j = Πh(1'i h + Σkx̄h k)
augenscheinlich vom zweiten Suffixe j unabhängig, somit xi j = xi l für
jedes l, und folgt wie oben unter 1), dass das Relativ x nur aus Voll-
und Leerzeilen bestehen kann. Hätte es nun keine Vollzeile, so müsste es
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 409. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/423>, abgerufen am 18.02.2025.
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