Nimmt man dies für v statt x in Anspruch und setzt dessen der letzten Subsumtion in 21) auf allgemeinste Weise genügenden Wert in die vorletzte ein, so ergeben sich zwei Lösungsformen unsrer Aufgabe 3, und zwar kommt man mit der ersten Lösungsform 27) durch die kleine Reduktion: a0 ; b + u + (an1 j bn) · a0 ; u = u + a0 ; b + a0 ; u = a0 ; (b + u) -- weil ua0 ; u, auf die schon früher gefundene Lösungsform 7) zurück. Mit der zweiten Lösungsform 27) aber ergibt sich unmittelbar die letzte Lösungsform 10), die wir noch heuristisch abzuleiten schuldig gewesen. --
Den Aufgaben 27) reiht sich ferner noch an: 28)
[Formel 2]
, indem die erste Äquivalenz wieder die Aufgabe auf das Schema 25) zu- rückführt. Um sie, die als rückwärtige Aussagensubsumtion evident ist, auch als vorwärtige einzusehen, hat man gemäss 26) nur den Satz zu beachten: 29)
[Formel 3]
der sich nach bekannten Sätzen aus 16) versteht.
Bei den zweiten Lösungsformen 28) ist sodann blos noch eine Re- duktion vonnöten mit Berücksichtigung der Sätze 5 und 24) des § 18 und von 9) S. 362. -- Sobald also b "Systemkonvers" ist (cf. § 27), vermögen wir die Aufgabe 4 wenigstens in halbgeschlossner Form zu lösen.
Bemerkenswert ist, dass bei diesen 28) gleichwie bei den Aufgaben 27) die Funktion f(u) der allgemeinen Lösungen 23) gleichwol nicht invariant ist (es müsste ja sonst auch a ; u an Stelle von a0 ; u im ersten Wurzel- ausdruck stehen und an j etc. an Stelle von an1 j etc. im zweiten!).
Ähnlich wie in diesen beiden Partikularfällen derselben auch für die allgemeine Aufgabe 4 eine Lösung in halbgeschlossener Form zu ermitteln, ist mir nicht gelungen.
[Ich hatte, nebenbei bemerkt, je die ersten Resultate 25, 27, 28) auf einem ganz andern und viel mühsameren Wege gefunden, indem ich näm- lich der Koeffizientenbedingung bei der allgemeinen Aufgabe 4 symmetrisch allgemein zu genügen suchte; auch dies Verfahren -- weil vielleicht noch nicht hinlänglich vervollkommnet -- liefert(e) nur die partikularen Er- gebnisse.]
Zum vorstehenden Problemcyklus scheint auch noch zu gehören die
§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.
27)
[Formel 1]
.
Nimmt man dies für v statt x in Anspruch und setzt dessen der letzten Subsumtion in 21) auf allgemeinste Weise genügenden Wert in die vorletzte ein, so ergeben sich zwei Lösungsformen unsrer Aufgabe 3, und zwar kommt man mit der ersten Lösungsform 27) durch die kleine Reduktion: a0 ; b + u + (ā1 ɟ b̄) · a0 ; u = u + a0 ; b + a0 ; u = a0 ; (b + u) — weil u ⋹ a0 ; u, auf die schon früher gefundene Lösungsform 7) zurück. Mit der zweiten Lösungsform 27) aber ergibt sich unmittelbar die letzte Lösungsform 10), die wir noch heuristisch abzuleiten schuldig gewesen. —
Den Aufgaben 27) reiht sich ferner noch an: 28)
[Formel 2]
, indem die erste Äquivalenz wieder die Aufgabe auf das Schema 25) zu- rückführt. Um sie, die als rückwärtige Aussagensubsumtion evident ist, auch als vorwärtige einzusehen, hat man gemäss 26) nur den Satz zu beachten: 29)
[Formel 3]
der sich nach bekannten Sätzen aus 16) versteht.
Bei den zweiten Lösungsformen 28) ist sodann blos noch eine Re- duktion vonnöten mit Berücksichtigung der Sätze 5 und 24) des § 18 und von 9) S. 362. — Sobald also b „Systemkonvers“ ist (cf. § 27), vermögen wir die Aufgabe 4 wenigstens in halbgeschlossner Form zu lösen.
Bemerkenswert ist, dass bei diesen 28) gleichwie bei den Aufgaben 27) die Funktion f(u) der allgemeinen Lösungen 23) gleichwol nicht invariant ist (es müsste ja sonst auch a ; u an Stelle von a0 ; u im ersten Wurzel- ausdruck stehen und ā̆ ɟ etc. an Stelle von ā̆1 ɟ etc. im zweiten!).
Ähnlich wie in diesen beiden Partikularfällen derselben auch für die allgemeine Aufgabe 4 eine Lösung in halbgeschlossener Form zu ermitteln, ist mir nicht gelungen.
[Ich hatte, nebenbei bemerkt, je die ersten Resultate 25, 27, 28) auf einem ganz andern und viel mühsameren Wege gefunden, indem ich näm- lich der Koeffizientenbedingung bei der allgemeinen Aufgabe 4 symmetrisch allgemein zu genügen suchte; auch dies Verfahren — weil vielleicht noch nicht hinlänglich vervollkommnet — liefert(e) nur die partikularen Er- gebnisse.]
Zum vorstehenden Problemcyklus scheint auch noch zu gehören die
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[399/0413]
§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.
27) [FORMEL].
Nimmt man dies für v statt x in Anspruch und setzt dessen der
letzten Subsumtion in 21) auf allgemeinste Weise genügenden Wert in die
vorletzte ein, so ergeben sich zwei Lösungsformen unsrer Aufgabe 3, und
zwar kommt man mit der ersten Lösungsform 27) durch die kleine Reduktion:
a0 ; b + u + (ā1 ɟ b̄) · a0 ; u = u + a0 ; b + a0 ; u = a0 ; (b + u) — weil u ⋹ a0 ; u,
auf die schon früher gefundene Lösungsform 7) zurück. Mit der zweiten
Lösungsform 27) aber ergibt sich unmittelbar die letzte Lösungsform 10),
die wir noch heuristisch abzuleiten schuldig gewesen. —
Den Aufgaben 27) reiht sich ferner noch an:
28) [FORMEL],
indem die erste Äquivalenz wieder die Aufgabe auf das Schema 25) zu-
rückführt. Um sie, die als rückwärtige Aussagensubsumtion evident ist,
auch als vorwärtige einzusehen, hat man gemäss 26) nur den Satz zu
beachten:
29) [FORMEL]
der sich nach bekannten Sätzen aus 16) versteht.
Bei den zweiten Lösungsformen 28) ist sodann blos noch eine Re-
duktion vonnöten mit Berücksichtigung der Sätze 5 und 24) des § 18 und
von 9) S. 362. — Sobald also b „Systemkonvers“ ist (cf. § 27), vermögen
wir die Aufgabe 4 wenigstens in halbgeschlossner Form zu lösen.
Bemerkenswert ist, dass bei diesen 28) gleichwie bei den Aufgaben 27)
die Funktion f(u) der allgemeinen Lösungen 23) gleichwol nicht invariant
ist (es müsste ja sonst auch a ; u an Stelle von a0 ; u im ersten Wurzel-
ausdruck stehen und ā̆ ɟ etc. an Stelle von ā̆1 ɟ etc. im zweiten!).
Ähnlich wie in diesen beiden Partikularfällen derselben auch für die
allgemeine Aufgabe 4 eine Lösung in halbgeschlossener Form zu ermitteln,
ist mir nicht gelungen.
[Ich hatte, nebenbei bemerkt, je die ersten Resultate 25, 27, 28) auf
einem ganz andern und viel mühsameren Wege gefunden, indem ich näm-
lich der Koeffizientenbedingung bei der allgemeinen Aufgabe 4 symmetrisch
allgemein zu genügen suchte; auch dies Verfahren — weil vielleicht noch
nicht hinlänglich vervollkommnet — liefert(e) nur die partikularen Er-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 399. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/413>, abgerufen am 23.11.2024.
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