Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.Neunte Vorlesung. zu gelten braucht. Was nämlich die zweite Subsumtion betrifft, derenPrädikat in (b + u) mal dem zuletzt angegebnen zerfällt, so lässt sich aller- dings zeigen, dass ihr Subjekt La ; u · a ; {an j (b + u)} a ; an j (b + u) 0' j (b + u) = b + u ist, weshalb dieser Faktor beim Prädikate unterdrückbar war. Immerhin gibt es ausgedehnte Klassen von Fällen, worin die Be- Ein bemerkenswertester Fall jener Art liegt vor, wenn in unserm Die linke Seite L = a0 ; bn(a0 ; u) der ersten Subsumtion 24) ist dann Auf dieses Schema lassen sich auch noch andre Partikularfälle der Es gilt nämlich der Satz: Die Einordnung der ersten Subsumtion 26) unter die dritte kann als Durch den zweiten Teil von 26) erscheint aber das mittlere Problem Neunte Vorlesung. zu gelten braucht. Was nämlich die zweite Subsumtion betrifft, derenPrädikat in (b + u) mal dem zuletzt angegebnen zerfällt, so lässt sich aller- dings zeigen, dass ihr Subjekt L⋹a ; u · a ; {ā̆ ɟ (b + u)} ⋹ a ; ā̆ ɟ (b + u) ⋹ 0' ɟ (b + u) = b + u ist, weshalb dieser Faktor beim Prädikate unterdrückbar war. Immerhin gibt es ausgedehnte Klassen von Fällen, worin die Be- Ein bemerkenswertester Fall jener Art liegt vor, wenn in unserm Die linke Seite L = a0 ; b̄(a0 ; u) der ersten Subsumtion 24) ist dann Auf dieses Schema lassen sich auch noch andre Partikularfälle der Es gilt nämlich der Satz: Die Einordnung der ersten Subsumtion 26) unter die dritte kann als Durch den zweiten Teil von 26) erscheint aber das mittlere Problem <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0412" n="398"/><fw place="top" type="header">Neunte Vorlesung.</fw><lb/> zu gelten braucht. Was nämlich die zweite Subsumtion betrifft, deren<lb/> Prädikat in (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi>) mal dem zuletzt angegebnen zerfällt, so lässt sich aller-<lb/> dings zeigen, dass ihr Subjekt<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">L</hi>⋹<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">u</hi> · <hi rendition="#i">a</hi> ; {<hi rendition="#i">ā̆</hi> ɟ (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi>)} ⋹ <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">ā̆</hi> ɟ (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi>) ⋹ 0' ɟ (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi>) = <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi></hi><lb/> ist, weshalb dieser Faktor beim Prädikate unterdrückbar war.</p><lb/> <p>Immerhin gibt es ausgedehnte Klassen von Fällen, worin die Be-<lb/> ziehungen 24) zutreffen und dann statt 23) der Ausdruck <hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">f</hi>(<hi rendition="#i">u</hi>) selbst<lb/> die Wurzel vorstellt, dazu auch andre, wo wenigstens in halbgeschlossener<lb/> Form eine Lösung möglich.</p><lb/> <p>Ein bemerkenswertester Fall jener Art liegt vor, wenn in unserm<lb/> Probleme 23) <hi rendition="#i">a</hi> Kette, somit durch <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> vertreten ist.</p><lb/> <p>Die linke Seite <hi rendition="#i">L</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b̄</hi>(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">u</hi>) der ersten Subsumtion 24) ist dann<lb/> nämlich ⋹ <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">u</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">u</hi>, somit <hi rendition="#i">L</hi> ⋹ <hi rendition="#i">R</hi>, und die <hi rendition="#i">L</hi> der zweiten Sub-<lb/> sumtion 24) ist ⋹ <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; {<hi rendition="#i">ā̆</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ɟ (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi>)} ⋹ <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">ā̆</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ɟ (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi>) = <hi rendition="#i">ā̆</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ɟ (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">u</hi>) nach 14)<lb/> rechts, somit auch hier <hi rendition="#i">L</hi> ⋹ <hi rendition="#i">R</hi>. Sonach müssen wir haben:<lb/> 25) <hi rendition="#et"><formula/>,</hi><lb/> — womit zum Überfluss auch beide Proben zu leisten nach Bisherigem<lb/> ein Leichtes ist.</p><lb/> <p>Auf dieses Schema lassen sich auch noch andre Partikularfälle der<lb/> Aufgabe 4 zurückführen, darunter zum Glück gerade derjenige, der für die<lb/> völlige Lösung unsrer Aufg. 3 (im zweiten Lösungsverfahren) unentbehr-<lb/> lich gewesen.</p><lb/> <p>Es gilt nämlich der Satz:<lb/> 26) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">x</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) ⋹ (<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">x</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">x</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>),</hi><lb/> dessen erster Teil sich aus <hi rendition="#fr">D</hi> 45 (<hi rendition="#i">b</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>) a fortiori versteht. 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Natürlich konnte man<lb/> diesen Satz auch leicht mittelst überschiebenden Addirens einer unbegrenzten<lb/> Reihe von Folgerungen aus der ersten Subsumtion 26): 1' ; <hi rendition="#i">x</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>,<lb/><hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">x</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">x</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>, etc. gewinnen.</p><lb/> <p>Durch den zweiten Teil von 26) erscheint aber das mittlere Problem<lb/> dieser Zeile auf das Schema 25) zurückgeführt und können wir darnach<lb/> sogleich auch die Aufgabe mit zwei Lösungsformen hinschreiben:<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [398/0412]
Neunte Vorlesung.
zu gelten braucht. Was nämlich die zweite Subsumtion betrifft, deren
Prädikat in (b + u) mal dem zuletzt angegebnen zerfällt, so lässt sich aller-
dings zeigen, dass ihr Subjekt
L⋹a ; u · a ; {ā̆ ɟ (b + u)} ⋹ a ; ā̆ ɟ (b + u) ⋹ 0' ɟ (b + u) = b + u
ist, weshalb dieser Faktor beim Prädikate unterdrückbar war.
Immerhin gibt es ausgedehnte Klassen von Fällen, worin die Be-
ziehungen 24) zutreffen und dann statt 23) der Ausdruck x = f(u) selbst
die Wurzel vorstellt, dazu auch andre, wo wenigstens in halbgeschlossener
Form eine Lösung möglich.
Ein bemerkenswertester Fall jener Art liegt vor, wenn in unserm
Probleme 23) a Kette, somit durch a0 vertreten ist.
Die linke Seite L = a0 ; b̄(a0 ; u) der ersten Subsumtion 24) ist dann
nämlich ⋹ a0 ; a0 ; u = a0 ; u, somit L ⋹ R, und die L der zweiten Sub-
sumtion 24) ist ⋹ a0 ; {ā̆1 ɟ (b + u)} ⋹ a0 ; ā̆1 ɟ (b + u) = ā̆1 ɟ (b + u) nach 14)
rechts, somit auch hier L ⋹ R. Sonach müssen wir haben:
25) [FORMEL],
— womit zum Überfluss auch beide Proben zu leisten nach Bisherigem
ein Leichtes ist.
Auf dieses Schema lassen sich auch noch andre Partikularfälle der
Aufgabe 4 zurückführen, darunter zum Glück gerade derjenige, der für die
völlige Lösung unsrer Aufg. 3 (im zweiten Lösungsverfahren) unentbehr-
lich gewesen.
Es gilt nämlich der Satz:
26) (a ; x ⋹ x + b) ⋹ (a ; x ⋹ x + a0 ; b) = (a0 ; x ⋹ x + a0 ; b),
dessen erster Teil sich aus D 45 (b ⋹ a0 ; b) a fortiori versteht. Die so als
Konklusion gewonnene zweite Subsumtion kann man von da weiter schliessend
mit der selbstverständlichen a ; a0 ; b ⋹ a0 ; b ⋹ x + a0 ; b zusammenziehen zu:
a ; (x + a0 ; b) ⋹ x + a0 ; b,
was sich nach D 51 äquivalent umschreibt in
a0 ; (x + a0 ; b) = x + a0 ; b
oder wegen a0 ; a0 = a0 in a0 ; x + a0 ; b = x + a0 ; b und die Folgerung in-
volvirt: a0 ; x ⋹ x + a0 ; b, womit die dritte Subsumtion 26) gewonnen ist.
Aus dieser fliesst aber auch umgekehrt wegen a ; x ⋹ a0 ; x a fortiori die
zweite, sodass die beiden als äquivalent erkannt sind, q. e. d.
Die Einordnung der ersten Subsumtion 26) unter die dritte kann als
eine Ausdehnung von Dedekind’s Satz D 51 hingestellt werden, in den
sie für b = 0 (dann b für x gesagt) übergeht. Natürlich konnte man
diesen Satz auch leicht mittelst überschiebenden Addirens einer unbegrenzten
Reihe von Folgerungen aus der ersten Subsumtion 26): 1' ; x ⋹ x + b,
a ; x ⋹ x + b, a ; a ; x ⋹ a ; x + a ; b ⋹ x + b + a ; b, etc. gewinnen.
Durch den zweiten Teil von 26) erscheint aber das mittlere Problem
dieser Zeile auf das Schema 25) zurückgeführt und können wir darnach
sogleich auch die Aufgabe mit zwei Lösungsformen hinschreiben:
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 398. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/412>, abgerufen am 01.09.2024. |