Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.Neunte Vorlesung. und definiren die Iterationen auch dieser Funktion in der üblichen Weise,so ergibt sich für xr die folgende Darstellung: x = xr = F0(b) + F1(b) + F2(b) + ... + Fr -- 1(b) + ur, von der wir uns begnügen wollen nachzuweisen, dass sie mit der vorigen zusammenfällt, indem sich die Summe rechterhand reduzirt nach dem Schema: Fr -- 1(b) =, F0(b) + F1(b) + F2(b) + F3(b) + ... + Fr -- 1(b) = fr -- 1(b). Letzteres ist in der That zunächst evident für r = 1 sowie 2 und kann Zu dem Ende beachte man, dass laut vorstehender Definition von Fr(b) Wendet man diese Rekursion auch auf die vorhergehenden Werte Wenn nun oben die zu beweisende Reduktionsformel für ein be- Unser Ergebniss war, dass Diese zerfällt in a ; a0 ; b = a00 ; b a0 ; b + v, was wegen a00 a0 Noch bevor letzteres ausgeführt ist, können wir aber wiederum, auch Neunte Vorlesung. und definiren die Iterationen auch dieser Funktion in der üblichen Weise,so ergibt sich für xr die folgende Darstellung: x = xr = F0(b) + F1(b) + F2(b) + … + Fr — 1(b) + ur, von der wir uns begnügen wollen nachzuweisen, dass sie mit der vorigen zusammenfällt, indem sich die Summe rechterhand reduzirt nach dem Schema: Fr — 1(b) =, F0(b) + F1(b) + F2(b) + F3(b) + … + Fr — 1(b) = fr — 1(b). Letzteres ist in der That zunächst evident für r = 1 sowie 2 und kann Zu dem Ende beachte man, dass laut vorstehender Definition von Fr(b) Wendet man diese Rekursion auch auf die vorhergehenden Werte Wenn nun oben die zu beweisende Reduktionsformel für ein be- Unser Ergebniss war, dass Diese zerfällt in a ; a0 ; b = a00 ; b ⋹ a0 ; b + v, was wegen a00 ⋹ a0 Noch bevor letzteres ausgeführt ist, können wir aber wiederum, auch <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0410" n="396"/><fw place="top" type="header">Neunte Vorlesung.</fw><lb/> und definiren die Iterationen auch dieser Funktion in der üblichen Weise,<lb/> so ergibt sich für <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">r</hi></hi> die folgende Darstellung:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x<hi rendition="#sub">r</hi></hi> = <hi rendition="#fr">F</hi><hi rendition="#sup">0</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#fr">F</hi><hi rendition="#sup">1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#fr">F</hi><hi rendition="#sup">2</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + … + <hi rendition="#fr">F</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">r</hi> — 1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#i">u<hi rendition="#sub">r</hi></hi>,</hi><lb/> von der wir uns begnügen wollen nachzuweisen, dass sie mit der vorigen<lb/> zusammenfällt, indem sich die Summe rechterhand reduzirt nach dem Schema:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">F</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#i">r</hi> — 1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) =, <hi rendition="#fr">F</hi><hi rendition="#sup">0</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#fr">F</hi><hi rendition="#sup">1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#fr">F</hi><hi rendition="#sup">2</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#fr">F</hi><hi rendition="#sup">3</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + … + <hi rendition="#fr">F</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">r</hi> — 1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">f</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">r</hi> — 1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>).</hi></p><lb/> <p>Letzteres ist in der That zunächst evident für <hi rendition="#i">r</hi> = 1 sowie 2 und kann<lb/> von da durch Schluss von <hi rendition="#i">r</hi> auf <hi rendition="#i">r</hi> + 1 bewiesen werden.</p><lb/> <p>Zu dem Ende beachte man, dass laut vorstehender Definition von <hi rendition="#i">F<hi rendition="#sub">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">b</hi>)<lb/> allgemein sein muss:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">F<hi rendition="#sub">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">F</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#i">r</hi> — 1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#fr">F</hi><hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">r</hi></hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">F</hi><hi rendition="#sub"><hi rendition="#i">r</hi> — 1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#fr">F</hi><hi rendition="#sup"><hi rendition="#i">r</hi> — 1</hi>(<hi rendition="#i">b</hi>)͞ · <hi rendition="#i">a</hi> ; 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Neunte Vorlesung.
und definiren die Iterationen auch dieser Funktion in der üblichen Weise,
so ergibt sich für xr die folgende Darstellung:
x = xr = F0(b) + F1(b) + F2(b) + … + Fr — 1(b) + ur,
von der wir uns begnügen wollen nachzuweisen, dass sie mit der vorigen
zusammenfällt, indem sich die Summe rechterhand reduzirt nach dem Schema:
Fr — 1(b) =, F0(b) + F1(b) + F2(b) + F3(b) + … + Fr — 1(b) = fr — 1(b).
Letzteres ist in der That zunächst evident für r = 1 sowie 2 und kann
von da durch Schluss von r auf r + 1 bewiesen werden.
Zu dem Ende beachte man, dass laut vorstehender Definition von Fr(b)
allgemein sein muss:
Fr(b) = Fr — 1(b) + Fr(b) = Fr — 1(b) + Fr — 1(b)͞ · a ; Fr — 1(b) =
= Fr — 1(b) + a ; Fr — 1(b),
weil nämlich der zuletzt unterdrückte Faktor gerade die Negation des
letzten Summanden im vorhergehenden Gliede und darum nach dem Satze
a + āb = a + b unterdrückbar war.
Wendet man diese Rekursion auch auf die vorhergehenden Werte
r — 1, r — 2, … 2, 1 von r an und setzt rechterhand rückwärts ein, so
ergibt sich leicht, weil ja F0(b) = F0(b) = b ist:
Fr(b) = F0(b) + a ; {F0(b) + F1(b) + … + Fr — 1(b)} = b + a ; Fr — 1(b).
Wenn nun oben die zu beweisende Reduktionsformel für ein be-
stimmtes r gültig ist, so wird aus ihr folgen, dass:
Fr(b) = b + a ; fr — 1(b) = fr(b)
sein, d. h. dass sie auch für r + 1 gelten muss — womit sie denn in der
That durch den Schluss der vollständigen Induktion bewiesen erscheint.
Unser Ergebniss war, dass
21a) x = a0 ; b + v
sein muss, wobei wegen b ⋹ a0 ; b nunmehr a fortiori auch b ⋹ x sein
wird, mithin die zweite Subsumtion 15) erfüllt ist, aber die erste a ; x ⋹ x
noch zu erfüllen bleibt.
Diese zerfällt in a ; a0 ; b = a00 ; b ⋹ a0 ; b + v, was wegen a00 ⋹ a0
schon bei v = 0 mithin umsomehr bei beliebigem v identisch erfüllt ist,
und in:
21b) a ; v ⋹ a0 ; b + v,
welcher Bedingung wir noch fernerhin durch geeignete Bestimmung von v
zu genügen haben werden.
Noch bevor letzteres ausgeführt ist, können wir aber wiederum, auch
von dem hier gewonnenen Standpunkte, den Dedekind’schen Ausdruck
D 44 für die a-Kette von b (für den rückwärtigen Gang der Untersuchung
im § 23) beweisen wie folgt.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 396. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/410>, abgerufen am 01.09.2024. |