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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Neunte Vorlesung.
aus welchem er für b = a0, c = 1' hervorginge, wo dann, weil die
Prämisse gilt, auch die Konklusion gelten muss. Umgekehrt folgt aus
ihm leicht D 53 mit: (b a0 ; c) (a0 ; b a0 ; a0 ; c = a0 ; c).

Behufs Beweises des letztern 6) verfügen wir bereits über: a ; a0 a0
und a0 ; a a0.

[Jenes war 23)b und dieses folgt etwa für b = a0 wegen 7) aus dem
zweiten Satze links in 27) rückwärts.]

Darnach haben wir auch
a ; (a ; a0) a ; a0, (a0 ; a) ; a a0 ; a.

Nach den Schemata links in 27) schreibt nun dies sich äquivalent um in:
a0 ; (a ; a0) = a ; a0, (a0 ; a) ; a0 = a0 ; a,
wonach wegen der Übereinstimmung der linkseitigen Ausdrücke (mit-
einander und mit a0 ; a ; a0) auch die rechten Seiten einander gleich sein
müssen, q. e. d.

Hiermit ist nun auch der Satz:
5)+ a00 ; a00 a00,
den ich als den Angelpunkt der ganzen Kettentheorie bezeichnen möchte,
ohne Benutzung von Reihenentwicklungen beweisbar wie folgt:
a00 ; a00 = a ; a0 ; a0 ; a = a ; a0 ; a a0 ; a = a00.

Wer endlich Gewicht darauf legt, von unserm einfachern Ausgangs-
punkte 21) aus auch noch die allgemeinere Erklärung D 44 nun als Theorem
zu gewinnen, wird am besten den unter 11) des § 24 folgenden Überlegungen
sich zuwenden, d. h. er braucht blos die von uns für die Proposition
a ; x + b x gegebne allgemeine Lösung als solche zu verifiziren (was
wiederum ohne Reihenbenutzung aufgrund schon etablirter Sätze angängig
-- siehe dort) und von ihr das Produkt P zu nehmen.

Von jetzt an aber mögen die aus 28) fliessenden Reihenentwickelungen:
29) a0 = 1' + a + a2 + a3 + ..., a00 = a + a2 + a3 + ...
flott benutzt werden.

Es mögen schliesslich die Begriffe der a-Kette und der a-Bildkette
von b noch durch ein paar Figuren veranschaulicht werden.

Schon im Hinblick auf Bemerkungen, wie die von Hoppe1 p. 30:
"Im Gegenteil würde man die*) gegebnen leeren Rahmen, um doch etwas
dabei zu denken, kaum anders auszufüllen wissen als durch die bekannten
Zahlen" dürfe solches nicht ganz überflüssig erscheinen.

Ich hatte aber diese Figuren 22 und 23 schon anfertigen lassen, als
ich mich noch der Dedekind'schen Bezeichnungsweisen bediente, und muss
demgemäss bitten, die Buchstaben darin etwas abgeändert zu denken, näm-
lich die kleinen a, a', b, b', c, c' durch gleichnamige grosse: A, A', B, B',
C, C' ersetzt zu erachten, für die Zeichen A, A', A'', A''' und B der

+ Aus Früherem wiederholt.
*) In Dedekind's Schrift1.

Neunte Vorlesung.
aus welchem er für b = a0, c = 1' hervorginge, wo dann, weil die
Prämisse gilt, auch die Konklusion gelten muss. Umgekehrt folgt aus
ihm leicht D 53 mit: (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; a0 ; c = a0 ; c).

Behufs Beweises des letztern 6) verfügen wir bereits über: a ; a0 ⋹ a0
und a0 ; a ⋹ a0.

[Jenes war 23)β und dieses folgt etwa für b = a0 wegen 7) aus dem
zweiten Satze links in 27) rückwärts.]

Darnach haben wir auch
a ; (a ; a0) ⋹ a ; a0, (a0 ; a) ; a ⋹ a0 ; a.

Nach den Schemata links in 27) schreibt nun dies sich äquivalent um in:
a0 ; (a ; a0) = a ; a0, (a0 ; a) ; a0 = a0 ; a,
wonach wegen der Übereinstimmung der linkseitigen Ausdrücke (mit-
einander und mit a0 ; a ; a0) auch die rechten Seiten einander gleich sein
müssen, q. e. d.

Hiermit ist nun auch der Satz:
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den ich als den Angelpunkt der ganzen Kettentheorie bezeichnen möchte,
ohne Benutzung von Reihenentwicklungen beweisbar wie folgt:
a00 ; a00 = a ; a0 ; a0 ; a = a ; a0 ; a ⋹ a0 ; a = a00.

Wer endlich Gewicht darauf legt, von unserm einfachern Ausgangs-
punkte 21) aus auch noch die allgemeinere Erklärung D 44 nun als Theorem
zu gewinnen, wird am besten den unter 11) des § 24 folgenden Überlegungen
sich zuwenden, d. h. er braucht blos die von uns für die Proposition
a ; x + b ⋹ x gegebne allgemeine Lösung als solche zu verifiziren (was
wiederum ohne Reihenbenutzung aufgrund schon etablirter Sätze angängig
— siehe dort) und von ihr das Produkt Π zu nehmen.

Von jetzt an aber mögen die aus 28) fliessenden Reihenentwickelungen:
29) a0 = 1' + a + a2 + a3 + …, a00 = a + a2 + a3 + …
flott benutzt werden.

Es mögen schliesslich die Begriffe der a-Kette und der a-Bildkette
von b noch durch ein paar Figuren veranschaulicht werden.

Schon im Hinblick auf Bemerkungen, wie die von Hoppe1 p. 30:
„Im Gegenteil würde man die*) gegebnen leeren Rahmen, um doch etwas
dabei zu denken, kaum anders auszufüllen wissen als durch die bekannten
Zahlen“ dürfe solches nicht ganz überflüssig erscheinen.

Ich hatte aber diese Figuren 22 und 23 schon anfertigen lassen, als
ich mich noch der Dedekind’schen Bezeichnungsweisen bediente, und muss
demgemäss bitten, die Buchstaben darin etwas abgeändert zu denken, näm-
lich die kleinen a, a', b, b', c, c' durch gleichnamige grosse: A, A', B, B',
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[384/0398] Neunte Vorlesung. aus welchem er für b = a0, c = 1' hervorginge, wo dann, weil die Prämisse gilt, auch die Konklusion gelten muss. Umgekehrt folgt aus ihm leicht D 53 mit: (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; a0 ; c = a0 ; c). Behufs Beweises des letztern 6) verfügen wir bereits über: a ; a0 ⋹ a0 und a0 ; a ⋹ a0. [Jenes war 23)β und dieses folgt etwa für b = a0 wegen 7) aus dem zweiten Satze links in 27) rückwärts.] Darnach haben wir auch a ; (a ; a0) ⋹ a ; a0, (a0 ; a) ; a ⋹ a0 ; a. Nach den Schemata links in 27) schreibt nun dies sich äquivalent um in: a0 ; (a ; a0) = a ; a0, (a0 ; a) ; a0 = a0 ; a, wonach wegen der Übereinstimmung der linkseitigen Ausdrücke (mit- einander und mit a0 ; a ; a0) auch die rechten Seiten einander gleich sein müssen, q. e. d. Hiermit ist nun auch der Satz: 5) † a00 ; a00 ⋹ a00, den ich als den Angelpunkt der ganzen Kettentheorie bezeichnen möchte, ohne Benutzung von Reihenentwicklungen beweisbar wie folgt: a00 ; a00 = a ; a0 ; a0 ; a = a ; a0 ; a ⋹ a0 ; a = a00. Wer endlich Gewicht darauf legt, von unserm einfachern Ausgangs- punkte 21) aus auch noch die allgemeinere Erklärung D 44 nun als Theorem zu gewinnen, wird am besten den unter 11) des § 24 folgenden Überlegungen sich zuwenden, d. h. er braucht blos die von uns für die Proposition a ; x + b ⋹ x gegebne allgemeine Lösung als solche zu verifiziren (was wiederum ohne Reihenbenutzung aufgrund schon etablirter Sätze angängig — siehe dort) und von ihr das Produkt Π zu nehmen. Von jetzt an aber mögen die aus 28) fliessenden Reihenentwickelungen: 29) a0 = 1' + a + a2 + a3 + …, a00 = a + a2 + a3 + … flott benutzt werden. Es mögen schliesslich die Begriffe der a-Kette und der a-Bildkette von b noch durch ein paar Figuren veranschaulicht werden. Schon im Hinblick auf Bemerkungen, wie die von Hoppe1 p. 30: „Im Gegenteil würde man die *) gegebnen leeren Rahmen, um doch etwas dabei zu denken, kaum anders auszufüllen wissen als durch die bekannten Zahlen“ dürfe solches nicht ganz überflüssig erscheinen. Ich hatte aber diese Figuren 22 und 23 schon anfertigen lassen, als ich mich noch der Dedekind’schen Bezeichnungsweisen bediente, und muss demgemäss bitten, die Buchstaben darin etwas abgeändert zu denken, näm- lich die kleinen a, a', b, b', c, c' durch gleichnamige grosse: A, A', B, B', C, C' ersetzt zu erachten, für die Zeichen A, A', A'', A''' und B der † Aus Früherem wiederholt. *) In Dedekind’s Schrift1.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 384. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/398>, abgerufen am 23.11.2024.