Der Beweis von D 47 oder 11)+(a ; c + bc) (a0 ; bc) ist nun endlich ganz leicht so zu leisten: (a ; c + bc) = (bc)(a ; cc) (a0 ; ba0 ; c)(a0 ; cc) (a0 ; bc) -- aufgrund von 27) oder D 51.
Somit sind jetzt alle Vorbedingungen des zirkelfreinen Beweises von D 59, 60 gewonnen.
Es erübrigt jetzt nur noch die Vereinfachung zu D 58, oder den Satz zu gewinnen: 28) a0 = 1' + a ; a0 -- eine Rekursion, aus welcher ja die Potenzreihe für a0 leicht ab- leitbar ist.
Dies gelingt unschwer wie folgt. Nach 23) haben wir: 1' + a ; a0a0 = Puu, somit 1' + a ; a0u für jedes der NB genügende u. Mithin ist u jedenfalls von der Form: u = 1' + a ; a0 + v, und erhalten wir durch Einsetzung in 22) für v die Erstreckungsbedingung: 1' + a + a ; a ; a0 + a ; v 1' + a ; a0 + v, welche sich jedoch sofort vereinfacht zu NB0 =) a ; v 1' + a ; a0 + v, indem die drei ersten Glieder des Subjektes als schon bekanntermaassen im Prädikate enthaltene unterdrückbar sind; es folgt ja aa ; a0 sofort (als a ; 1' a ; a0) aus 23)a und a ; a ; a0 = a ; (a ; a0) a ; a0 aus 21)b. Darnach ist gefunden:
[Formel 1]
, sintemal v = 0 der NB0 genügt, somit Pv = 0 ist, q. e. d.
Zum Überfluss wollen wir -- ohne Benutzung der Potenzreihe für a0 -- auch noch die beiden Sätze beweisen: 7)+a0 ; a0 = a und 6)+a ; a0 = a0 ; a (was = a00 zu definiren).
Der erstre 7) ergibt sich als Konklusion aus 23)b nach dem Schema von 27) oder D 51, dieses für b = a0 in Anspruch genommen. Er ist sozusagen der Kern des Satzes D 53: (ba0 ; c) (a0 ; ba0 ; c),
+ Aus Früherem wiederholt.
+ Aus Früherem wiederholt.
+ Aus Früherem wiederholt.
§ 23. Vereinfachte Kettentheorie.
Der Beweis von D 47 oder 11)†(a ; c + b ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ c) ist nun endlich ganz leicht so zu leisten: (a ; c + b ⋹ c) = (b ⋹ c)(a ; c ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c)(a0 ; c ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ c) — aufgrund von 27) oder D 51.
Somit sind jetzt alle Vorbedingungen des zirkelfreinen Beweises von D 59, 60 gewonnen.
Es erübrigt jetzt nur noch die Vereinfachung zu D 58, oder den Satz zu gewinnen: 28) a0 = 1' + a ; a0 — eine Rekursion, aus welcher ja die Potenzreihe für a0 leicht ab- leitbar ist.
Dies gelingt unschwer wie folgt. Nach 23) haben wir: 1' + a ; a0 ⋹ a0 = Πu ⋹ u, somit 1' + a ; a0 ⋹ u für jedes der NB genügende u. Mithin ist u jedenfalls von der Form: u = 1' + a ; a0 + v, und erhalten wir durch Einsetzung in 22) für v die Erstreckungsbedingung: 1' + a + a ; a ; a0 + a ; v ⋹ 1' + a ; a0 + v, welche sich jedoch sofort vereinfacht zu NB0 =) a ; v ⋹ 1' + a ; a0 + v, indem die drei ersten Glieder des Subjektes als schon bekanntermaassen im Prädikate enthaltene unterdrückbar sind; es folgt ja a ⋹ a ; a0 sofort (als a ; 1' ⋹ a ; a0) aus 23)α und a ; a ; a0 = a ; (a ; a0) ⋹ a ; a0 aus 21)β. Darnach ist gefunden:
[Formel 1]
, sintemal v = 0 der NB0 genügt, somit Πv = 0 ist, q. e. d.
Zum Überfluss wollen wir — ohne Benutzung der Potenzreihe für a0 — auch noch die beiden Sätze beweisen: 7)†a0 ; a0 = a und 6)†a ; a0 = a0 ; a (was = a00 zu definiren).
Der erstre 7) ergibt sich als Konklusion aus 23)β nach dem Schema von 27) oder D 51, dieses für b = a0 in Anspruch genommen. Er ist sozusagen der Kern des Satzes D 53: (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c),
† Aus Früherem wiederholt.
† Aus Früherem wiederholt.
† Aus Früherem wiederholt.
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[383/0397]
§ 23. Vereinfachte Kettentheorie.
Der Beweis von D 47 oder
11) † (a ; c + b ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ c)
ist nun endlich ganz leicht so zu leisten:
(a ; c + b ⋹ c) = (b ⋹ c)(a ; c ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c)(a0 ; c ⋹ c) ⋹ (a0 ; b ⋹ c)
— aufgrund von 27) oder D 51.
Somit sind jetzt alle Vorbedingungen des zirkelfreinen Beweises
von D 59, 60 gewonnen.
Es erübrigt jetzt nur noch die Vereinfachung zu D 58, oder den
Satz zu gewinnen:
28) a0 = 1' + a ; a0
— eine Rekursion, aus welcher ja die Potenzreihe für a0 leicht ab-
leitbar ist.
Dies gelingt unschwer wie folgt. Nach 23) haben wir:
1' + a ; a0 ⋹ a0 = Πu ⋹ u, somit
1' + a ; a0 ⋹ u
für jedes der NB genügende u. Mithin ist u jedenfalls von der Form:
u = 1' + a ; a0 + v,
und erhalten wir durch Einsetzung in 22) für v die Erstreckungsbedingung:
1' + a + a ; a ; a0 + a ; v ⋹ 1' + a ; a0 + v,
welche sich jedoch sofort vereinfacht zu
NB0 =) a ; v ⋹ 1' + a ; a0 + v,
indem die drei ersten Glieder des Subjektes als schon bekanntermaassen
im Prädikate enthaltene unterdrückbar sind; es folgt ja a ⋹ a ; a0 sofort
(als a ; 1' ⋹ a ; a0) aus 23)α und a ; a ; a0 = a ; (a ; a0) ⋹ a ; a0 aus 21)β.
Darnach ist gefunden:
[FORMEL],
sintemal v = 0 der NB0 genügt, somit Πv = 0 ist, q. e. d.
Zum Überfluss wollen wir — ohne Benutzung der Potenzreihe
für a0 — auch noch die beiden Sätze beweisen:
7) † a0 ; a0 = a und 6) † a ; a0 = a0 ; a (was = a00 zu definiren).
Der erstre 7) ergibt sich als Konklusion aus 23)β nach dem
Schema von 27) oder D 51, dieses für b = a0 in Anspruch genommen.
Er ist sozusagen der Kern des Satzes D 53: (b ⋹ a0 ; c) ⋹ (a0 ; b ⋹ a0 ; c),
† Aus Früherem wiederholt.
† Aus Früherem wiederholt.
† Aus Früherem wiederholt.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 383. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/397>, abgerufen am 23.11.2024.
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