Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

§ 23. Zum Satz der vollständigen Induktion.
irgendwie (auch eventuell mit Auslassungen) zusammengesetzt ist. Solchen
Fall werden wir nachher ebenfalls berücksichtigen.

Dann stellt uns also a0 ; b wiederum die ganze Zahlenreihe vor.

Endlich bedeute nun das Relativ c die Gesamtheit, das "System"
der Zahlen, die eine bestimmte Eigenschaft E besitzen, m. a. W. für
die ein bestimmter Satz S, in welchem von einer unbestimmten Zahl n
die Rede ist, gilt.

Um nachzuweisen, dass der Satz S für alle Zahlen gelte, dass
nämlich a0 ; b c sei, genügt es dann nach D 59, zu zeigen:

erstens dass der Satz für die Zahl b = 1 gilt, dass also b c sei,

zweitens dass auch für das Bild a von jeder Zahl (n) für die unser
Satz S gilt -- welche Zahlen eben in dem Ausdrucke (a0) ; b)c zu-
sammengefasst erscheinen -- dieser Satz gelten müsse, d. h. also, dass
auch a ; (a0 ; b)c c sein müsse. Gemeinhin zu reden wird damit zu
zeigen gewesen sein, dass, sobald der Satz für eine bestimmte Zahl n
gilt, er auch für die nächst höhere Zahl n + 1 gelten müsse.

Stellt uns dagegen -- noch allgemeiner -- b eine bestimmte Zahl m
vor, oder auch irgend ein System von Zahlen, welches als die niederste
die Zahl m in sich schliesst, so wird a0 ; b die Gesamtheit der Zahlen
von m an vorstellen.

Um zu beweisen, dass ein Satz S für alle Zahlen dieser Reihe m,
m + 1, m + 2, ... in infinitum gelte, muss es dann genügen, "erstens"
zu zeigen, dass er für die Zahlen des Systems b gelte, ja ist es blos
erforderlich, seine Geltung für die Zahl (b =)m selbst darzuthun, und
"zweitens" etc. (Wortlaut wie vorhin). [Für die Zahlen unterhalb m
braucht der Satz dann überhaupt nicht zu gelten.]

Hiermit dürfte denn die als D 60 von Herrn Dedekind gegebne
Erläuterung über die Bedeutung und Tragweite des Satzes D 59 bei-
gebracht sein. Rekapituliren wir nochmals thunlichst mit den Worten
des genannten Autors: D 60. Um zu beweisen, dass alle Elemente der
Kette a0 ; b eine gewisse Eigenschaft E besitzen, genügt es zu zeigen,

erstens dass alle Elemente von b die Eigenschaft E besitzen,

zweitens dass dem Bilde a ; n jedes solchen Elements n "von a0 ; b",
welches die Eigenschaft E besitzt, dieselbe Eigenschaft zukommt.

Unter c brauchte man hiebei blos das System aller Elemente,
welche diese Eigenschaft E besitzen, zu verstehen, um D 60 als die
verbale Übersetzung der Formel D 59 zu erkennen.

Hiezu jedoch dürfte noch eine Bemerkung nicht überflüssig er-
scheinen, welche durch die Vergleichung von D 59 mit D 47 nahe
gelegt wird.


Schröder, Algebra der Relative. 24

§ 23. Zum Satz der vollständigen Induktion.
irgendwie (auch eventuell mit Auslassungen) zusammengesetzt ist. Solchen
Fall werden wir nachher ebenfalls berücksichtigen.

Dann stellt uns also a0 ; b wiederum die ganze Zahlenreihe vor.

Endlich bedeute nun das Relativ c die Gesamtheit, das „System“
der Zahlen, die eine bestimmte Eigenschaft E besitzen, m. a. W. für
die ein bestimmter Satz S, in welchem von einer unbestimmten Zahl n
die Rede ist, gilt.

Um nachzuweisen, dass der Satz S für alle Zahlen gelte, dass
nämlich a0 ; b ⋹ c sei, genügt es dann nach D 59, zu zeigen:

erstens dass der Satz für die Zahl b = 1̇ gilt, dass also b ⋹ c sei,

zweitens dass auch für das Bild a von jeder Zahl (n) für die unser
Satz S gilt — welche Zahlen eben in dem Ausdrucke (a0) ; b)c zu-
sammengefasst erscheinen — dieser Satz gelten müsse, d. h. also, dass
auch a ; (a0 ; b)c ⋹ c sein müsse. Gemeinhin zu reden wird damit zu
zeigen gewesen sein, dass, sobald der Satz für eine bestimmte Zahl n
gilt, er auch für die nächst höhere Zahl n + 1̇ gelten müsse.

Stellt uns dagegen — noch allgemeiner — b eine bestimmte Zahl m
vor, oder auch irgend ein System von Zahlen, welches als die niederste
die Zahl m in sich schliesst, so wird a0 ; b die Gesamtheit der Zahlen
von m an vorstellen.

Um zu beweisen, dass ein Satz S für alle Zahlen dieser Reihe m,
m + 1̇, m + 2, … in infinitum gelte, muss es dann genügen, „erstens“
zu zeigen, dass er für die Zahlen des Systems b gelte, ja ist es blos
erforderlich, seine Geltung für die Zahl (b =)m selbst darzuthun, und
„zweitens“ etc. (Wortlaut wie vorhin). [Für die Zahlen unterhalb m
braucht der Satz dann überhaupt nicht zu gelten.]

Hiermit dürfte denn die als D 60 von Herrn Dedekind gegebne
Erläuterung über die Bedeutung und Tragweite des Satzes D 59 bei-
gebracht sein. Rekapituliren wir nochmals thunlichst mit den Worten
des genannten Autors: D 60. Um zu beweisen, dass alle Elemente der
Kette a0 ; b eine gewisse Eigenschaft E besitzen, genügt es zu zeigen,

erstens dass alle Elemente von b die Eigenschaft E besitzen,

zweitens dass dem Bilde a ; n jedes solchen Elements n „von a0 ; b“,
welches die Eigenschaft E besitzt, dieselbe Eigenschaft zukommt.

Unter c brauchte man hiebei blos das System aller Elemente,
welche diese Eigenschaft E besitzen, zu verstehen, um D 60 als die
verbale Übersetzung der Formel D 59 zu erkennen.

Hiezu jedoch dürfte noch eine Bemerkung nicht überflüssig er-
scheinen, welche durch die Vergleichung von D 59 mit D 47 nahe
gelegt wird.


Schröder, Algebra der Relative. 24
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0383" n="369"/><fw place="top" type="header">§ 23. Zum Satz der vollständigen Induktion.</fw><lb/>
irgendwie (auch eventuell mit Auslassungen) zusammengesetzt ist. Solchen<lb/>
Fall werden wir nachher ebenfalls berücksichtigen.</p><lb/>
          <p>Dann stellt uns also <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> wiederum die ganze Zahlenreihe vor.</p><lb/>
          <p>Endlich bedeute nun das Relativ <hi rendition="#i">c</hi> die Gesamtheit, das &#x201E;System&#x201C;<lb/>
der Zahlen, die eine bestimmte Eigenschaft <hi rendition="#fr">E</hi> besitzen, m. a. W. für<lb/>
die ein bestimmter Satz <hi rendition="#fr">S</hi>, in welchem von einer unbestimmten Zahl <hi rendition="#i">n</hi><lb/>
die Rede ist, gilt.</p><lb/>
          <p>Um nachzuweisen, dass der Satz <hi rendition="#fr">S</hi> für alle Zahlen gelte, dass<lb/>
nämlich <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi> sei, genügt es dann nach <hi rendition="#fr">D</hi> 59, zu zeigen:</p><lb/>
          <p>erstens dass der Satz für die Zahl <hi rendition="#i">b</hi> = 1&#x0307; gilt, dass also <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi> sei,</p><lb/>
          <p>zweitens dass auch für das Bild <hi rendition="#i">a von jeder</hi> Zahl (<hi rendition="#i">n</hi>) für die unser<lb/>
Satz <hi rendition="#fr">S</hi> gilt &#x2014; welche Zahlen eben in dem Ausdrucke (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi>) ; <hi rendition="#i">b</hi>)<hi rendition="#i">c</hi> zu-<lb/>
sammengefasst erscheinen &#x2014; dieser Satz gelten müsse, d. h. also, dass<lb/>
auch <hi rendition="#i">a</hi> ; (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>)<hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi> sein müsse. Gemeinhin zu reden wird damit zu<lb/>
zeigen gewesen sein, dass, sobald der Satz für eine bestimmte Zahl <hi rendition="#i">n</hi><lb/>
gilt, er auch für die <hi rendition="#i">nächst höhere</hi> Zahl <hi rendition="#i">n</hi> + 1&#x0307; gelten müsse.</p><lb/>
          <p>Stellt uns dagegen &#x2014; noch allgemeiner &#x2014; <hi rendition="#i">b</hi> eine bestimmte Zahl <hi rendition="#i">m</hi><lb/>
vor, oder auch irgend ein System von Zahlen, welches als die niederste<lb/>
die Zahl <hi rendition="#i">m</hi> in sich schliesst, so wird <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> die <hi rendition="#i">Gesamtheit der Zahlen<lb/>
von m an</hi> vorstellen.</p><lb/>
          <p>Um zu beweisen, dass ein Satz <hi rendition="#fr">S</hi> für alle Zahlen dieser Reihe <hi rendition="#i">m</hi>,<lb/><hi rendition="#i">m</hi> + 1&#x0307;, <hi rendition="#i">m</hi> + 2, &#x2026; in infinitum gelte, muss es dann genügen, &#x201E;erstens&#x201C;<lb/>
zu zeigen, dass er für die Zahlen des Systems <hi rendition="#i">b</hi> gelte, ja ist es blos<lb/>
erforderlich, seine Geltung für die Zahl (<hi rendition="#i">b</hi> =)<hi rendition="#i">m</hi> selbst darzuthun, und<lb/>
&#x201E;zweitens&#x201C; etc. (Wortlaut wie vorhin). [Für die Zahlen unterhalb <hi rendition="#i">m</hi><lb/>
braucht der Satz dann überhaupt nicht zu gelten.]</p><lb/>
          <p>Hiermit dürfte denn die als <hi rendition="#fr">D</hi> 60 von Herrn <hi rendition="#g">Dedekind</hi> gegebne<lb/>
Erläuterung über die Bedeutung und Tragweite des Satzes <hi rendition="#fr">D</hi> 59 bei-<lb/>
gebracht sein. Rekapituliren wir nochmals thunlichst mit den Worten<lb/>
des genannten Autors: <hi rendition="#fr">D</hi> 60. Um zu beweisen, dass alle Elemente der<lb/>
Kette <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> eine gewisse Eigenschaft <hi rendition="#fr">E</hi> besitzen, genügt es zu zeigen,</p><lb/>
          <p>erstens dass alle Elemente von <hi rendition="#i">b</hi> die Eigenschaft <hi rendition="#fr">E</hi> besitzen,</p><lb/>
          <p>zweitens dass dem Bilde <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">n jedes solchen Elements n</hi> &#x201E;<hi rendition="#i">von a</hi><hi rendition="#sub">0</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>&#x201C;,<lb/><hi rendition="#i">welches die Eigenschaft</hi> <hi rendition="#fr">E</hi> <hi rendition="#i">besitzt</hi>, dieselbe Eigenschaft zukommt.</p><lb/>
          <p>Unter <hi rendition="#i">c</hi> brauchte man hiebei blos das System aller Elemente,<lb/>
welche diese Eigenschaft <hi rendition="#fr">E</hi> besitzen, zu verstehen, um <hi rendition="#fr">D</hi> 60 als die<lb/>
verbale Übersetzung der Formel <hi rendition="#fr">D</hi> 59 zu erkennen.</p><lb/>
          <p>Hiezu jedoch dürfte noch eine Bemerkung nicht überflüssig er-<lb/>
scheinen, welche durch die Vergleichung von <hi rendition="#fr">D</hi> 59 mit <hi rendition="#fr">D</hi> 47 nahe<lb/>
gelegt wird.</p><lb/>
          <fw place="bottom" type="sig"><hi rendition="#k">Schröder</hi>, Algebra der Relative. 24</fw><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[369/0383] § 23. Zum Satz der vollständigen Induktion. irgendwie (auch eventuell mit Auslassungen) zusammengesetzt ist. Solchen Fall werden wir nachher ebenfalls berücksichtigen. Dann stellt uns also a0 ; b wiederum die ganze Zahlenreihe vor. Endlich bedeute nun das Relativ c die Gesamtheit, das „System“ der Zahlen, die eine bestimmte Eigenschaft E besitzen, m. a. W. für die ein bestimmter Satz S, in welchem von einer unbestimmten Zahl n die Rede ist, gilt. Um nachzuweisen, dass der Satz S für alle Zahlen gelte, dass nämlich a0 ; b ⋹ c sei, genügt es dann nach D 59, zu zeigen: erstens dass der Satz für die Zahl b = 1̇ gilt, dass also b ⋹ c sei, zweitens dass auch für das Bild a von jeder Zahl (n) für die unser Satz S gilt — welche Zahlen eben in dem Ausdrucke (a0) ; b)c zu- sammengefasst erscheinen — dieser Satz gelten müsse, d. h. also, dass auch a ; (a0 ; b)c ⋹ c sein müsse. Gemeinhin zu reden wird damit zu zeigen gewesen sein, dass, sobald der Satz für eine bestimmte Zahl n gilt, er auch für die nächst höhere Zahl n + 1̇ gelten müsse. Stellt uns dagegen — noch allgemeiner — b eine bestimmte Zahl m vor, oder auch irgend ein System von Zahlen, welches als die niederste die Zahl m in sich schliesst, so wird a0 ; b die Gesamtheit der Zahlen von m an vorstellen. Um zu beweisen, dass ein Satz S für alle Zahlen dieser Reihe m, m + 1̇, m + 2, … in infinitum gelte, muss es dann genügen, „erstens“ zu zeigen, dass er für die Zahlen des Systems b gelte, ja ist es blos erforderlich, seine Geltung für die Zahl (b =)m selbst darzuthun, und „zweitens“ etc. (Wortlaut wie vorhin). [Für die Zahlen unterhalb m braucht der Satz dann überhaupt nicht zu gelten.] Hiermit dürfte denn die als D 60 von Herrn Dedekind gegebne Erläuterung über die Bedeutung und Tragweite des Satzes D 59 bei- gebracht sein. Rekapituliren wir nochmals thunlichst mit den Worten des genannten Autors: D 60. Um zu beweisen, dass alle Elemente der Kette a0 ; b eine gewisse Eigenschaft E besitzen, genügt es zu zeigen, erstens dass alle Elemente von b die Eigenschaft E besitzen, zweitens dass dem Bilde a ; n jedes solchen Elements n „von a0 ; b“, welches die Eigenschaft E besitzt, dieselbe Eigenschaft zukommt. Unter c brauchte man hiebei blos das System aller Elemente, welche diese Eigenschaft E besitzen, zu verstehen, um D 60 als die verbale Übersetzung der Formel D 59 zu erkennen. Hiezu jedoch dürfte noch eine Bemerkung nicht überflüssig er- scheinen, welche durch die Vergleichung von D 59 mit D 47 nahe gelegt wird. Schröder, Algebra der Relative. 24

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/383
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 369. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/383>, abgerufen am 23.11.2024.