Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Neunte Vorlesung.

D 36 ‥ D 63 — des „Abbildung eines Systems in sich selbst“ betitelten
D § 4.

Derselbe gipfelt in der Statuirung und dem Beweise des Satzes D 59, 60,
welcher „die wissenschaftliche Grundlage des Schlusses der vollständigen In-
duktion“ bildet. Dieser die „Theorie der Ketten“ enthaltende Teil ist es,
der uns demnächst allein beschäftigen wird.

Den „dritten Teil“ bildet der ganze Rest der Schrift, nämlich D 21
nebst D 25 des D § 2, der D § 3 mit D 26 ‥ 35, endlich D § 5 ‥ 14
mit D 64 ‥ 167. Ungeachtet der hohen Wichtigkeit und des fundamen-
talen Charakters, welche schon dem zweiten Teile eignen, ist dieser dritte
Teil ja als der allerwichtigste zu bezeichnen und in ihm der Schwerpunkt
und Hauptinhalt der ganzen Arbeit zu erblicken. Wir werden jedoch an
denselben viel später erst herantreten, auch nicht nach seinem ganzen Um-
fange ihn zu inkorporiren haben. Der Teil beginnt da und umfasst alle
die Sätze, wo die für Dedekind’s „Abbildung“ geforderte Eindeutigkeit als
eine wesentliche Voraussetzung der Untersuchungen eintritt, m. a. W. sich
für die Geltung der Sätze wirklich unentbehrlich zeigt.

Als ganz besonders merkwürdig müssen wir nämlich nunmehr konsta-
tiren, dass der gesamte „zweite Teil“ von Dedekind’s Arbeit, den ich eben
mit Rücksicht hierauf als solchen abgegrenzt habe, von jener (ihm auf-
erlegten) Voraussetzung unabhängig ist.

Die Sätze, welche dieser zweite Teil in sich schliesst, gelten nicht nur
bezüglich der von Dedekind, gleichwie auch in unsrer Theorie, als „Systeme“
bezeichneten Relative, sondern sie gelten schon von den Relativen überhaupt;
sie gelten nicht blos für die im Sinne Dedekind’s als „eindeutige“ Zu-
ordnung aufgefasste „Abbildung“, sondern sie bleiben auch dem Wort-
laut nach vollgültig bestehn, wenn man das Wort „Abbildung“ in dem
weitesten Sinne gebraucht, dessen es fähig scheint, nämlich darunter ver-
steht: eine gelegentlich auch „mehrdeutige“, nicht minder, wie eventuell auch
unterbleibende (versagende, „undeutige“) Zuordnung — in welchem Falle
das Wort synonym ist mit dem allgemeinen Begriff des (binären) Relatives.

Dem „zweiten Teile“ von Dedekind’s Schrift kommt also ein viel
weiterer Geltungsbereich, eine grössere Tragweite zu, als ihm der Autor selber
zugeschrieben; und darin, dass diese Thatsache klar hervortreten wird,
dürfte immerhin schon ein Gewinn zu erblicken sein, welcher Dedekind’s
Kettentheorie aus ihrer Eingliederung in die Algebra der Relative er-
wachsen muss.

Sogar Dedekind’s Beweise zu seinen einschlägigen Sätzen können zu-
meist und jedenfalls in den Hauptzügen beibehalten werden; sie sind nur
ab und zu — weil jedes Argumentiren auf die „Elemente“ zu unterbleiben
hat (als womit ein Satz blos für „Systeme“ bewiesen würde) — ein wenig
zu modifiziren.

Was das Verhältniss der hier zur Anwendung kommenden Termino-
logie zu der Dedekind’schen betrifft, so suche ich zwar an letztere mich
möglichst nahe anzuschliessen. Ich werde demgemäss den D’schen Aus-
druck „Bild von-“ (inbezug auf ein gegebenes Zuordnungsprinzip a, welches
bei Dedekind zumeist unerwähnt bleibt) im Texte beibehalten, obgleich