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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 22. Zweite Stufe der Probleme in 3 Buchstaben.

Was die Probleme der dritten Hauptabteilung betrifft, so erhalten
wir die Repräsentanten von deren Gespannen jedenfalls vollständig,
wiewol überzählig, wenn wir die 16 Paare 0), je mit eingeschaltetem
Semikolon, x setzen, ferner diese Subsumtionen auch rückwärtig
ansetzen, endlich die ersten 16 Subsumtionszeichen auch in Gleichheits-
zeichen verwandeln. Von diesen 16 x 3 = 48 Repräsentanten sind
aber die 6 x 3 = 18 wegzulassen, welche von den 6 Paaren unterhalb
der Hauptdiagonale in 0) herrühren; denn diese gehören schon bezüg-
lich zu den Gespannen der ihnen symmetrisch oberhalb der Haupt-
diagonale gegenüberstehenden Repräsentanten. Oder umgekehrt.

In der That geht z. B. der Ansatz x ; xn x aus dem xn ; x x hervor,
indem man x durch x durchweg ersetzt und beiderseits konvertirt. Etc.

Es verbleiben also höchstens 10 x 3 = 30 Repräsentanten.

Schreiben wir von diesen die ersten zehne, nämlich die "vorwär-
tigen" Subsumtionen hin, so erhalten wir aus der Hauptdiagonale zu-
nächst die vier Repräsentanten:
[Formel 1] und von oberhalb derselben die sechse:
[Formel 2] .

Dieselben Subsumtionen wären nun auch rückwärtig, sowie als
Gleichungen anzusetzen.

Während sich aber diese von uns nicht hingeschriebenen 20 Pro-
positionen als die Repräsentanten von ebensovielen wesentlich verschie-
denen und selbständig zu lösenden Problemen erweisen werden, redu-
ziren sich die vorstehend hingeschriebenen 10 Propositionen -- die wir
uns mit den Zahlen 1 bis 10 numerirt denken wollen -- bedeutend,
nämlich auf nur fünf Aufgaben. Die Abteilung umfasst also 25 Pro-
bleme (an Subsumtionen 15).

Um dies einzusehen, formen wir unsre zehn Subsumtionen um, indem
wir gemäss dem ersten Inversionstheoreme einmal den zweiten und ebenso
den ersten relativen Faktor transponiren, d. i. auf die andre Seite schaffen.
Durch Vertauschung von x mit einem seiner Verwandten bewirken wir
hierauf, dass der bei diesem Transponiren frei werdende (sich isolirende)
Term x selbst wird, und stellen darunter diejenige von den Subsumtionen
1 bis 10 mitsamt ihrer Nummer, zu deren Gespann gehörig sich die er-
haltene Umformung erweist.

Auf diese Weise erhalten wir für die vier ersten Subsumtionen das
Tableau:

21*
§ 22. Zweite Stufe der Probleme in 3 Buchstaben.

Was die Probleme der dritten Hauptabteilung betrifft, so erhalten
wir die Repräsentanten von deren Gespannen jedenfalls vollständig,
wiewol überzählig, wenn wir die 16 Paare 0), je mit eingeschaltetem
Semikolon, ⋹ x setzen, ferner diese Subsumtionen auch rückwärtig
ansetzen, endlich die ersten 16 Subsumtionszeichen auch in Gleichheits-
zeichen verwandeln. Von diesen 16 × 3 = 48 Repräsentanten sind
aber die 6 × 3 = 18 wegzulassen, welche von den 6 Paaren unterhalb
der Hauptdiagonale in 0) herrühren; denn diese gehören schon bezüg-
lich zu den Gespannen der ihnen symmetrisch oberhalb der Haupt-
diagonale gegenüberstehenden Repräsentanten. Oder umgekehrt.

In der That geht z. B. der Ansatz x ; x̄ ⋹ x aus dem x̄ ; x ⋹ x hervor,
indem man x durch x̆ durchweg ersetzt und beiderseits konvertirt. Etc.

Es verbleiben also höchstens 10 × 3 = 30 Repräsentanten.

Schreiben wir von diesen die ersten zehne, nämlich die „vorwär-
tigen“ Subsumtionen hin, so erhalten wir aus der Hauptdiagonale zu-
nächst die vier Repräsentanten:
[Formel 1] und von oberhalb derselben die sechse:
[Formel 2] .

Dieselben Subsumtionen wären nun auch rückwärtig, sowie als
Gleichungen anzusetzen.

Während sich aber diese von uns nicht hingeschriebenen 20 Pro-
positionen als die Repräsentanten von ebensovielen wesentlich verschie-
denen und selbständig zu lösenden Problemen erweisen werden, redu-
ziren sich die vorstehend hingeschriebenen 10 Propositionen — die wir
uns mit den Zahlen 1 bis 10 numerirt denken wollen — bedeutend,
nämlich auf nur fünf Aufgaben. Die Abteilung umfasst also 25 Pro-
bleme (an Subsumtionen 15).

Um dies einzusehen, formen wir unsre zehn Subsumtionen um, indem
wir gemäss dem ersten Inversionstheoreme einmal den zweiten und ebenso
den ersten relativen Faktor transponiren, d. i. auf die andre Seite schaffen.
Durch Vertauschung von x mit einem seiner Verwandten bewirken wir
hierauf, dass der bei diesem Transponiren frei werdende (sich isolirende)
Term x selbst wird, und stellen darunter diejenige von den Subsumtionen
1 bis 10 mitsamt ihrer Nummer, zu deren Gespann gehörig sich die er-
haltene Umformung erweist.

Auf diese Weise erhalten wir für die vier ersten Subsumtionen das
Tableau:

21*
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[323/0337] § 22. Zweite Stufe der Probleme in 3 Buchstaben. Was die Probleme der dritten Hauptabteilung betrifft, so erhalten wir die Repräsentanten von deren Gespannen jedenfalls vollständig, wiewol überzählig, wenn wir die 16 Paare 0), je mit eingeschaltetem Semikolon, ⋹ x setzen, ferner diese Subsumtionen auch rückwärtig ansetzen, endlich die ersten 16 Subsumtionszeichen auch in Gleichheits- zeichen verwandeln. Von diesen 16 × 3 = 48 Repräsentanten sind aber die 6 × 3 = 18 wegzulassen, welche von den 6 Paaren unterhalb der Hauptdiagonale in 0) herrühren; denn diese gehören schon bezüg- lich zu den Gespannen der ihnen symmetrisch oberhalb der Haupt- diagonale gegenüberstehenden Repräsentanten. Oder umgekehrt. In der That geht z. B. der Ansatz x ; x̄ ⋹ x aus dem x̄ ; x ⋹ x hervor, indem man x durch x̆ durchweg ersetzt und beiderseits konvertirt. Etc. Es verbleiben also höchstens 10 × 3 = 30 Repräsentanten. Schreiben wir von diesen die ersten zehne, nämlich die „vorwär- tigen“ Subsumtionen hin, so erhalten wir aus der Hauptdiagonale zu- nächst die vier Repräsentanten: [FORMEL] und von oberhalb derselben die sechse: [FORMEL]. Dieselben Subsumtionen wären nun auch rückwärtig, sowie als Gleichungen anzusetzen. Während sich aber diese von uns nicht hingeschriebenen 20 Pro- positionen als die Repräsentanten von ebensovielen wesentlich verschie- denen und selbständig zu lösenden Problemen erweisen werden, redu- ziren sich die vorstehend hingeschriebenen 10 Propositionen — die wir uns mit den Zahlen 1 bis 10 numerirt denken wollen — bedeutend, nämlich auf nur fünf Aufgaben. Die Abteilung umfasst also 25 Pro- bleme (an Subsumtionen 15). Um dies einzusehen, formen wir unsre zehn Subsumtionen um, indem wir gemäss dem ersten Inversionstheoreme einmal den zweiten und ebenso den ersten relativen Faktor transponiren, d. i. auf die andre Seite schaffen. Durch Vertauschung von x mit einem seiner Verwandten bewirken wir hierauf, dass der bei diesem Transponiren frei werdende (sich isolirende) Term x selbst wird, und stellen darunter diejenige von den Subsumtionen 1 bis 10 mitsamt ihrer Nummer, zu deren Gespann gehörig sich die er- haltene Umformung erweist. Auf diese Weise erhalten wir für die vier ersten Subsumtionen das Tableau: 21*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 323. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/337>, abgerufen am 23.11.2024.