§ 21. Das allgemeinste Problem universaler Natur auf dieser Stufe.
Da das Verschwinden des dritten Gliedes durch Konversion aus dem des zweiten folgt und vice versa, so kann von diesen beiden Glie- dern irgend eines weggelassen werden: wir haben wesentlich nur drei Glieder zum Verschwinden zu bringen. Der Symmetrie zuliebe wollen wir gleichwol alle vier Glieder beibehalten.
Eine weitre partielle Resultante ergibt sich durch folgende Über- legung.
Werden in den vier Verwandten zu x die individuellen Selbst- relative von den Aliorelativen gesondert, so hat man: x = 1'x + 0'x, xn = 1'xn + 0'xn, x = 1'x + 0'x, xn = 1'xn + 0'xn, sintemal bekanntlich allgemein -- 8) des § 9 -- 1'a = 1'a ist. Damit wird: xx = 1'x + 0'xx, xxn = 0'xxn, xnx = 0'xnx, xnxn = 1'xn + 0'xnxn.
Inbezug auf den Selbstteil (selfpart, Skalar) der unbekannten Ver- wandten wird also lediglich gefordert sein, dass a1'x + d1'xn = 0 werde, was die Resultante bedingt: 37) ad1' = 0 oder ad 0' und wonach, falls letztre erfüllt ist, der Selbstteil von x schon vorweg ermittelt werden könnte.
Der Rest der dem x auferlegten Forderung bezieht sich darnach nur mehr auf den Alioteil (Vektor) der unbekannten Relative, und die auf- tretenden Koeffizienten besitzen darin sämtlich den Faktor 0', oder es kann ihnen dieser jederzeit zugefügt werden.
Vereinigung der beiden Resultanten gibt: 38) ad(1' + bb) = 0, falls a = a, d = d, oder 39) (a + a){1' + (b + c)(b + c)}(d + d) = 0, was sich als die volle Resultante zu 33) erweisen wird.
Wie leicht zu sehen, kann jene auch äquivalent schon in der Form ad(bb + 1'bnbn) = 0 oder abbd + 1'abnbnd = 0 angeschrieben werden. Denn dem ersten Glied 1' in 38) lässt sich die Negation (bn + bn) des zweiten Gliedes als Faktor beifügen; da aber dieser = bbn + bnbn + bnb und hievon das erste und dritte Glied 0' ist, so kommen von den durch Ausmultipliziren mit 1' entstehenden drei Gliedern zweie in Wegfall. Etc.
Die Vollständigkeit unsrer Resultante liesse sich wol auf mehrern Wegen darthun, deren andre jedoch durch den ohnehin von uns zu gehenden
§ 21. Das allgemeinste Problem universaler Natur auf dieser Stufe.
Da das Verschwinden des dritten Gliedes durch Konversion aus dem des zweiten folgt und vice versa, so kann von diesen beiden Glie- dern irgend eines weggelassen werden: wir haben wesentlich nur drei Glieder zum Verschwinden zu bringen. Der Symmetrie zuliebe wollen wir gleichwol alle vier Glieder beibehalten.
Eine weitre partielle Resultante ergibt sich durch folgende Über- legung.
Werden in den vier Verwandten zu x die individuellen Selbst- relative von den Aliorelativen gesondert, so hat man: x = 1'x + 0'x, x̄ = 1'x̄ + 0'x̄, x̆ = 1'x + 0'x̆, x̄̆ = 1'x̄ + 0'x̄̆, sintemal bekanntlich allgemein — 8) des § 9 — 1'ă = 1'a ist. Damit wird: xx̆ = 1'x + 0'xx̆, xx̄̆ = 0'xx̄̆, x̄x̆ = 0'x̄x̆, x̄x̄̆ = 1'x̄ + 0'x̄x̄̆.
Inbezug auf den Selbstteil (selfpart, Skalar) der unbekannten Ver- wandten wird also lediglich gefordert sein, dass α1'x + δ1'x̄ = 0 werde, was die Resultante bedingt: 37) αδ1' = 0 oder αδ⋹ 0' und wonach, falls letztre erfüllt ist, der Selbstteil von x schon vorweg ermittelt werden könnte.
Der Rest der dem x auferlegten Forderung bezieht sich darnach nur mehr auf den Alioteil (Vektor) der unbekannten Relative, und die auf- tretenden Koeffizienten besitzen darin sämtlich den Faktor 0', oder es kann ihnen dieser jederzeit zugefügt werden.
Vereinigung der beiden Resultanten gibt: 38) αδ(1' + ββ̆) = 0, falls α = ᾰ, δ = δ̆, oder 39) (a + ă){1' + (b + c̆)(b̆ + c)}(d + d̆) = 0, was sich als die volle Resultante zu 33) erweisen wird.
Wie leicht zu sehen, kann jene auch äquivalent schon in der Form αδ(ββ̆ + 1'β̄β̄̆) = 0 oder αββ̆δ + 1'αβ̄β̄̆δ = 0 angeschrieben werden. Denn dem ersten Glied 1' in 38) lässt sich die Negation (β̄ + β̄̆) des zweiten Gliedes als Faktor beifügen; da aber dieser = ββ̄̆ + β̄β̄̆ + β̄β̆ und hievon das erste und dritte Glied ⋹ 0' ist, so kommen von den durch Ausmultipliziren mit 1' entstehenden drei Gliedern zweie in Wegfall. Etc.
Die Vollständigkeit unsrer Resultante liesse sich wol auf mehrern Wegen darthun, deren andre jedoch durch den ohnehin von uns zu gehenden
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[311/0325]
§ 21. Das allgemeinste Problem universaler Natur auf dieser Stufe.
Da das Verschwinden des dritten Gliedes durch Konversion aus
dem des zweiten folgt und vice versa, so kann von diesen beiden Glie-
dern irgend eines weggelassen werden: wir haben wesentlich nur drei
Glieder zum Verschwinden zu bringen. Der Symmetrie zuliebe wollen
wir gleichwol alle vier Glieder beibehalten.
Eine weitre partielle Resultante ergibt sich durch folgende Über-
legung.
Werden in den vier Verwandten zu x die individuellen Selbst-
relative von den Aliorelativen gesondert, so hat man:
x = 1'x + 0'x, x̄ = 1'x̄ + 0'x̄, x̆ = 1'x + 0'x̆, x̄̆ = 1'x̄ + 0'x̄̆,
sintemal bekanntlich allgemein — 8) des § 9 — 1'ă = 1'a ist. Damit
wird:
xx̆ = 1'x + 0'xx̆, xx̄̆ = 0'xx̄̆, x̄x̆ = 0'x̄x̆, x̄x̄̆ = 1'x̄ + 0'x̄x̄̆.
Inbezug auf den Selbstteil (selfpart, Skalar) der unbekannten Ver-
wandten wird also lediglich gefordert sein, dass
α1'x + δ1'x̄ = 0
werde, was die Resultante bedingt:
37) αδ1' = 0 oder αδ⋹ 0'
und wonach, falls letztre erfüllt ist, der Selbstteil von x schon vorweg
ermittelt werden könnte.
Der Rest der dem x auferlegten Forderung bezieht sich darnach nur
mehr auf den Alioteil (Vektor) der unbekannten Relative, und die auf-
tretenden Koeffizienten besitzen darin sämtlich den Faktor 0', oder es kann
ihnen dieser jederzeit zugefügt werden.
Vereinigung der beiden Resultanten gibt:
38) αδ(1' + ββ̆) = 0, falls α = ᾰ, δ = δ̆,
oder
39) (a + ă){1' + (b + c̆)(b̆ + c)}(d + d̆) = 0,
was sich als die volle Resultante zu 33) erweisen wird.
Wie leicht zu sehen, kann jene auch äquivalent schon in der Form
αδ(ββ̆ + 1'β̄β̄̆) = 0 oder αββ̆δ + 1'αβ̄β̄̆δ = 0
angeschrieben werden. Denn dem ersten Glied 1' in 38) lässt sich die
Negation (β̄ + β̄̆) des zweiten Gliedes als Faktor beifügen; da aber dieser
= ββ̄̆ + β̄β̄̆ + β̄β̆ und hievon das erste und dritte Glied ⋹ 0' ist, so
kommen von den durch Ausmultipliziren mit 1' entstehenden drei Gliedern
zweie in Wegfall. Etc.
Die Vollständigkeit unsrer Resultante liesse sich wol auf mehrern
Wegen darthun, deren andre jedoch durch den ohnehin von uns zu gehenden
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 311. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/325>, abgerufen am 23.11.2024.
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