Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Achte Vorlesung.

Verwandten des x blos identische Knüpfungen eingehen — bei Ausschluss
aber von Ungleichungen.

Gedachte Relation — als die vereinigte Gleichung solchen Systems —
hat die Form f(x, x̆) = 0, wenn f eine Funktion identischen Kalkuls
vorstellt. „Entwickelt“ muss sie sich darstellen in der Form:
33) axx̆ + bxx̄̆ + cx̄x̆ + dx̄x̄̆ = 0,
worin die Parameter a, b, c, d gegebne von x unabhängige binäre
Relative vorstellen. Diese können aber nicht ad libitum gegeben sein;
vielmehr involvirt die Gleichung schon nach dem identischen Kalkul
die Relation abcd = 0 als Resultante der Elimination von x und x̆,
welche die volle Resultante, die einzige zwischen den Parametern ge-
forderte Relation sein würde, wenn diese beiden Unbekannten von
einander unabhängig wären, kurz: wenn es y statt x̆ hiesse. Bei der
Abhängigkeit y = x̆ hingegen involvirt die Gleichung noch viel mehr
Beziehungen zwischen den Parametern, und stehen wir zunächst vor
einem Elimminationsprobleme.

Zieht man die konvertirte Gleichung mit der ursprünglichen zu-
sammen, so kommt:
(a + ă)xx̆ + (b + c̆)xx̄̆ + (b̆ + c)x̄x̆ + (d + d̆)x̄x̄̆ = 0,
und folgt als Resultante mindestens schon:
34) (a + ă)(b + c̆)(b̆ + c)(d + d̆) = 0.

Ausmultipliziren liefert 16 Glieder, für die das Verschwinden gefordert
ist. Für die eine Hälfte von diesen aber folgt das Verschwinden bereits
durch Konversion von selbst aus dem der andern, sodass wir wesentlich
nur 8 partielle Resultanten haben, als deren Zusammenfassung z. B.:
a(b + c̆)(b̆ + c)(d + d̆) = 0, oder besser noch: (a + ă)(b + c)(d + d̆) = 0
hingestellt werden kann.

Für die obigen 4 Koeffizienten wollen wir Abkürzungen einführen:
α = a + ă, β = b + c̆, γ = b̆ + c, δ = d + d̆.
Dann ist identisch:
ᾰ = α, δ̆ = δ,
zugleich ist aber auch γ = β̆, β = γ̆, sodass von den beiden Namen
β, γ einer, sagen wir γ, entbehrlich ist.

Die zu erfüllende Gleichung heisst jetzt:
35) αxx̆ + βxx̄̆ + β̆x̄x̆ + δx̄x̄̆ = 0,
und die bisherige Resultante lautet:
36) αββ̆δ = 0.