Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 21. Erste Stufe der Probleme in 3 Buchstaben.

Machen wir mit ihr auch noch die beiden Proben. Man erhält
x̄̆ = ā̆ + a{uū̆ + (u + ū̆)ḡ̆}, ax̄̆ = a{ā̆ + uū̆ + (u + ū̆)ḡ̆},
was sich von x selbst nur durch das Auftreten des Faktors ḡ̆ statt g unter-
scheidet. Unter der Herrschaft des Faktors 0', der dem a anhaftet, ist
aber die Ersetzung von ḡ̆ durch g gestattet — vergl. 30) — und somit
ist ax̄̆ = x und stimmt die Probe 1.

Sollte ferner von vornherein aū̆ = u schon sein (was nur bei a ⋹ 0'
möglich), so reduzirt sich x zu x = aā̆ + au + aug = a(ā̆ + u) = aā̆ + u,
sintemal wegen u ⋹ a auch au = u sein wird. Endlich folgt aber ā ⋹ ū,
ā̆ ⋹ ū̆, aā̆ ⋹ aū̆ = u, wonach der erste Term im letzten Ausdruck des x
vom zweiten absorbirt wird, und wir erhalten: x = u. Das heisst: es
stimmt auch die Probe 2.

Die Lösung des zweiten Problems 14) betreffend ist zu bemerken,
dass das Relativ g sich selber nicht dual entspricht. Demselben würde
vielmehr ein Relativ γ dual entsprechen, das durch die Forderungen:
γ + γ̆ = 1, γγ̆ = 1'
definirt ist. Man sieht leicht, dass:
γ = 1' + g
genommen werden kann. Indem man die Lösung des ersten Problems 14),
behufs Gewinnung von der des zweiten, dual umschreibt, wird also g durch
1' + g zu ersetzen sein. Hier wird dann aber der Term 1' zu unterdrücken
sein, weil man dem zweiten Gliede unsrer Lösung den Faktor ā zufügen
kann und wegen 1' ⋹ a auch ā ⋹ 0', ā = 0'ā sein muss, der Term 1'
hier also mit dem Faktor 0' zusammentrifft, der ihn aufhebt.

Wer diese Überlegung scheut, dem bleibt nichts übrig, als auch mit
der angegebnen Lösung des zweiten Problems 14) direkt die beiden Proben
zu machen. Zu Probe 1 erhalten wir: x̄̆ = ā̆{a + uū̆ + (u + ū̆)ḡ̆} also
a + x̄̆ = a + ā̆{uū̆ + (u + ū̆)ḡ̆},
wo wieder ḡ̆ als unter der Herrschaft des Faktors ā = ā0' stehend durch
0'ḡ̆ = 0'g = g ersetzbar ist, sodass in der That a + x̄̆ = x sich herausstellt.

Zu Probe 2 sei a + ū̆ = u. Dann können wir wegen des in 14) bei x
vorhandnen Gliedes a in den übrigen Gliedern das ū̆ auch durch a + ū̆
somit u ersetzen, womit sich x zu x = a + ā̆(u + ug) = a + ā̆u reduzirt.
Wegen a ⋹ u ist aber a = au, somit x = (a + ā̆)u. Ebendeshalb ist auch
ū̆ ⋹ ā̆, a + ū̆ ⋹ a + ā̆, u ⋹ a + ā̆, (a + ā̆)u = u, somit x = u, q. e. d.

Anhangsweise wollen wir sogleich noch das Problem behandeln:
die allgemeinste Relation von universalem Charakter, welche im iden-
tischen Kalkul zwischen den Verwandten von x konzipirt werden kann,
nach diesem unbekannten Relativ aufzulösen. Damit wird sich auch
jedes System von Gleichungen und Subsumtionen erledigen, in denen die