Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 21. Erste Stufe der Probleme in 3 Buchstaben.

aus welchem die Lösungen aller (übrigen) Aufgaben 1) bis 27) dann als
partikulare Fälle hervorgehen. Für die letzte Aufgabengruppe 22) bis 27)
allerdings wird dieser Weg sich nicht empfehlen, vielmehr ist hiezu blos
zu sagen, dass der Nachweis der daselbst angegebnen Aussagenäquivalenzen
oder die Zurückführung der als äquivalent behaupteten Aussagen auf
einander eine leichte Übungsaufgabe für Anfänger bildet.

Ich gebe daher jetzt den Beweis, zunächst zu 10) und 12), wobei
ich mich mit der Verifikation der Lösungsformen für die Probleme linker-
hand vermittelst der beiden Proben begnüge.

Zur ersten Lösungsform x = u + aŭ von 10) hat man als Probe 1:
x̆ = ŭ + ău, also ax̆ = aŭ + aău ⋹ aŭ + u = x, und als Probe 2:
(ax̆ ⋹ x) ⋹, sogar = (x = x + ax̆).

Zur zweiten Lösungsform x = u(ā̆ + ŭ) von 10) ist Probe 1 mit
x̆ = ŭ(ā + u), ax̆ = auŭ ⋹ uŭ ⋹ x geleistet und Probe 2 mit
(ax̆ ⋹ x) = (x̆ ⋹ ā + x) = (x ⋹ ā̆ + x̆) = {x = x(ā̆ + x̆)}.

Zu 12), mit nur einer Lösungsform x = u + (a + ă)ū̆, folgt
x̄̆ = ū̆(āā̆ + u), ax̄̆ = auū̆ ⋹ u ⋹ x,
womit denn Probe 1 stimmt. Ist aber ax̄̆ ⋹ x, so muss auch x = x + (a + ă)x̄̆
sein und stimmt die Probe 2. Denn es fallen die nachstehenden Probleme
zusammen:
(ax̄̆ ⋹ x) = {(a + ă)x̄̆ ⋹ x}, und auch = (ăx̄̆ ⋹ x),
indem beide Seitenaussagen äquivalent sind mit
(a ⋹ x + x̆) = (ă ⋹ x + x̆) = (a + ă ⋹ x + x̆).

Wie im Probleme, so können demnach auch in der Lösung die drei
Symbole a, ă und a + ă einander vertreten und hätte man formell ein-
facher schon
x = u + aū̆
als die Lösung hinstellen können, womit die Probe 1 als
ax̄̆ = aā̆ū̆ + auū̆ ⋹ aū̆ + u = x
ebenfalls stimmte. —

Analog nun die übrigen Lösungen zu verifiziren, die etwaigen Resul-
tanten zu gewinnen und die angeführten Problemäquivalenzen nachzu-
weisen — wie z. B. bei 11) wo
(x ⋹ ax̆) = (x ⋹ a)(x ⋹ x̆) = (x̆ = x)(x ⋹ aă), cf. 5),
zunächst zerfällt, u. s. w. — sei als eine nicht zu verachtende Übung, bis
auf 14), dem Leser überlassen. Schwieriger würde die Zumutung der Ent-
deckung der Lösungen sein, wie sie mir vor Inangriffnahme des allgemeinern
Problems einzeln obgelegen.

[Als bemerkenswert verdient vielleicht einmal angeführt zu werden,
was eine Art Korollar zu 27) bildet, dass allgemein:

āăā̆ = 0

1 = ā + ă + ā̆