Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.§ 20. Zum Inversionsproblem der Transoperationen. 22)
[Formel 1]
wo sich die erste Formel 22) nach dem zweiten Schema 20) ergibt, indem man a für u sagt. Die zweite 22) geht aus der folgenden dritten hervor, indem nach 21) leicht zu zeigen, dass 0 j a = 0 j a, an ; 1 = an ; 1 wird. Diese dritte aber ergibt sich systematisch, indem man erst der zweiten Subsumtion 19) mittelst b 0 j a oder b = b(0 j a) genügt, und den Wert in die erste einträgt. Diese wird: an ; 1 · a 1 ; b(0 j a) = 1 ; b · (0 j a) und zerfällt in an ; 1 · a 0 j a, was auf 18) hinauskommt, und in an ; 1 · a 1 ; b, welcher letztern Forderung nach dem Schema 25) des § 18 durch ge- eignete Bestimmung von b zu genügen ist. Die Lösung wird: b = u + an ; 1 · a · (0 j un), womit b = (0 j a)u + (0 j a) · an ; 1 · a · (0 j un) gewonnen ist, was sich noch wegen (0 j a)a = 0 j a vereinfacht. Sagt man schliesslich b für die definitiv verbleibende Unbestimmte u des Er- gebnisses, so hat man die dritte Formel 22) gefunden. Es ist eine gute Übung für Anfänger auch die Proben 1 und 2 mit Jenes führt durch Einsetzung nach einigen Umformungen unter An- Dieses führt auf die aus der Voraussetzung 17) zu verifizirende Relation: Wir haben oben die Resultante der Elimination von b aus der Zu dem Ende braucht man in der That nur in dem Ausdrucke 22) Damit wird auch 0 j a = 1 ; b und a = 1 ; b j 1 ; b = 1 ; b, welch letz- Schröder, Algebra der Relative. 19
§ 20. Zum Inversionsproblem der Transoperationen. 22)
[Formel 1]
wo sich die erste Formel 22) nach dem zweiten Schema 20) ergibt, indem man α für u sagt. Die zweite 22) geht aus der folgenden dritten hervor, indem nach 21) leicht zu zeigen, dass 0 ɟ a = 0 ɟ α, ā ; 1 = ᾱ ; 1 wird. Diese dritte aber ergibt sich systematisch, indem man erst der zweiten Subsumtion 19) mittelst b ⋹ 0 ɟ a oder b = β(0 ɟ a) genügt, und den Wert in die erste einträgt. Diese wird: ā ; 1 · a ⋹ 1 ; β(0 ɟ a) = 1 ; β · (0 ɟ a) und zerfällt in ā ; 1 · a ⋹ 0 ɟ a, was auf 18) hinauskommt, und in ā ; 1 · a ⋹ 1 ; β, welcher letztern Forderung nach dem Schema 25) des § 18 durch ge- eignete Bestimmung von β zu genügen ist. Die Lösung wird: β = u + ā ; 1 · a · (0 ɟ ū), womit b = (0 ɟ a)u + (0 ɟ a) · ā ; 1 · a · (0 ɟ ū) gewonnen ist, was sich noch wegen (0 ɟ a)a = 0 ɟ a vereinfacht. Sagt man schliesslich β für die definitiv verbleibende Unbestimmte u des Er- gebnisses, so hat man die dritte Formel 22) gefunden. Es ist eine gute Übung für Anfänger auch die Proben 1 und 2 mit Jenes führt durch Einsetzung nach einigen Umformungen unter An- Dieses führt auf die aus der Voraussetzung 17) zu verifizirende Relation: Wir haben oben die Resultante der Elimination von b aus der Zu dem Ende braucht man in der That nur in dem Ausdrucke 22) Damit wird auch 0 ɟ α = 1 ; b und a = 1 ; b ɟ 1 ; b = 1 ; b, welch letz- Schröder, Algebra der Relative. 19
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0303" n="289"/><fw place="top" type="header">§ 20. Zum Inversionsproblem der Transoperationen.</fw><lb/> 22) <formula/><lb/> wo sich die erste Formel 22) nach dem zweiten Schema 20) ergibt, indem<lb/> man <hi rendition="#i">α</hi> für <hi rendition="#i">u</hi> sagt. Die zweite 22) geht aus der folgenden dritten hervor,<lb/> indem nach 21) leicht zu zeigen, dass 0 ɟ <hi rendition="#i">a</hi> = 0 ɟ <hi rendition="#i">α</hi>, <hi rendition="#i">ā</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">ᾱ</hi> ; 1 wird.<lb/> Diese dritte aber ergibt sich systematisch, indem man erst der zweiten<lb/> Subsumtion 19) mittelst <hi rendition="#i">b</hi> ⋹ 0 ɟ <hi rendition="#i">a</hi> oder <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">β</hi>(0 ɟ <hi rendition="#i">a</hi>) genügt, und den Wert<lb/> in die erste einträgt. Diese wird: <hi rendition="#i">ā</hi> ; 1 · <hi rendition="#i">a</hi> ⋹ 1 ; <hi rendition="#i">β</hi>(0 ɟ <hi rendition="#i">a</hi>) = 1 ; <hi rendition="#i">β</hi> · (0 ɟ <hi rendition="#i">a</hi>) und<lb/> zerfällt in <hi rendition="#i">ā</hi> ; 1 · <hi rendition="#i">a</hi> ⋹ 0 ɟ <hi rendition="#i">a</hi>, was auf 18) hinauskommt, und in <hi rendition="#i">ā</hi> ; 1 · <hi rendition="#i">a</hi> ⋹ 1 ; <hi rendition="#i">β</hi>,<lb/> welcher letztern Forderung nach dem Schema 25) des § 18 durch ge-<lb/> eignete Bestimmung von <hi rendition="#i">β</hi> zu genügen ist. Die Lösung wird:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">β</hi> = <hi rendition="#i">u</hi> + <hi rendition="#i">ā</hi> ; 1 · <hi rendition="#i">a</hi> · (0 ɟ <hi rendition="#i">ū</hi>), womit <hi rendition="#i">b</hi> = (0 ɟ <hi rendition="#i">a</hi>)<hi rendition="#i">u</hi> + (0 ɟ <hi rendition="#i">a</hi>) · <hi rendition="#i">ā</hi> ; 1 · <hi rendition="#i">a</hi> · (0 ɟ <hi rendition="#i">ū</hi>)</hi><lb/> gewonnen ist, was sich noch wegen (0 ɟ <hi rendition="#i">a</hi>)<hi rendition="#i">a</hi> = 0 ɟ <hi rendition="#i">a</hi> vereinfacht. Sagt<lb/> man schliesslich <hi rendition="#i">β</hi> für die definitiv verbleibende Unbestimmte <hi rendition="#i">u</hi> des Er-<lb/> gebnisses, so hat man die dritte Formel 22) gefunden.</p><lb/> <p>Es ist eine gute Übung für Anfänger auch die Proben 1 und 2 mit<lb/> dem Ergebnisse 22) zu machen, also erstens zu zeigen, dass die Resul-<lb/> tante 17) für beliebige <hi rendition="#i">α</hi> und <hi rendition="#i">β</hi> durch das System der Ausdrücke 22) er-<lb/> füllt wird, und zweitens nachzuweisen, dass man ein gegebenes der Resul-<lb/> tante 17) genügendes Wertepaar <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi> mittelst der Annahme <hi rendition="#i">α</hi> = <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">β</hi> = <hi rendition="#i">b</hi><lb/> aus 22) richtig erhält.</p><lb/> <p>Jenes führt durch Einsetzung nach einigen Umformungen unter An-<lb/> wendung bereits bekannter Sätze zu der Formel:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">α</hi> ɟ 0 ɟ <hi rendition="#i">α</hi> = <hi rendition="#i">α</hi> ɟ 0 + (0 ɟ <hi rendition="#i">α</hi>) · 1 ; <hi rendition="#i">β</hi> + (0 ɟ <hi rendition="#i">α</hi>) · 1 ; <hi rendition="#i">ᾱ</hi> ; 1,</hi><lb/> welche sowol für <hi rendition="#i">α</hi> = 1 als für <hi rendition="#i">α</hi> ≠ 1 mit einiger Kunst zu recht-<lb/> fertigen ist.</p><lb/> <p>Dieses führt auf die aus der Voraussetzung 17) zu verifizirende Relation:<lb/><hi rendition="#c">(0 ɟ <hi rendition="#i">a</hi>){<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">ā</hi> ; 1 · (0 ɟ <hi rendition="#i">b̄</hi>)} = <hi rendition="#i">b</hi> oder (0 ɟ <hi rendition="#i">a</hi>) · <hi rendition="#i">ā</hi> ; 1 · <hi rendition="#i">b̄</hi>(0 ɟ <hi rendition="#i">b̄</hi>) + <hi rendition="#i">b</hi> · 1 ; <hi rendition="#i">ā</hi> = 0</hi><lb/> wo in der That der erste Term wegen <hi rendition="#i">ā</hi> ; 1 · (0 ɟ <hi rendition="#i">b̄</hi>) = <hi rendition="#i">ā</hi> und <hi rendition="#i">ā</hi>(0 ɟ <hi rendition="#i">a</hi>) = 0,<lb/> der letzte wegen (1 ; <hi rendition="#i">b</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi>) = (<hi rendition="#i">b</hi> ⋹ 0 ɟ <hi rendition="#i">a</hi>) = (1 ; <hi rendition="#i">ā</hi> ⋹ <hi rendition="#i">b̄</hi>) verschwindet.</p><lb/> <p>Wir haben oben die Resultante der Elimination von <hi rendition="#i">b</hi> aus der<lb/> Gleichung 17) abgeleitet. Man kann aber endlich auch die Frage auf-<lb/> werfen nach der Resultante der Elimination von <hi rendition="#i">a</hi> aus dieser Gleichung<lb/> 17) — als einer Relation für <hi rendition="#i">b</hi>. Die Antwort lautet: eine solche gibt<lb/> es nicht. Das Relativ <hi rendition="#i">b</hi> kann beliebig angenommen werden, und es<lb/> lässt sich allemal ein <hi rendition="#i">a</hi> bestimmen, welches dann die Gleichung 17)<lb/> erfüllt.</p><lb/> <p>Zu dem Ende braucht man in der That nur in dem Ausdrucke 22)<lb/><hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">α</hi> ɟ 0 ɟ <hi rendition="#i">α</hi> zu nehmen:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">α</hi> = 1 ; <hi rendition="#i">b</hi>.</hi></p><lb/> <p>Damit wird auch 0 ɟ <hi rendition="#i">α</hi> = 1 ; <hi rendition="#i">b</hi> und <hi rendition="#i">a</hi> = 1 ; <hi rendition="#i">b</hi> ɟ 1 ; <hi rendition="#i">b</hi> = 1 ; <hi rendition="#i">b</hi>, welch letz-<lb/> terer Vereinfachung zugrunde liegt der</p><lb/> <fw place="bottom" type="sig"><hi rendition="#k">Schröder</hi>, Algebra der Relative. 19</fw><lb/> </div> </div> </body> </text> </TEI> [289/0303]
§ 20. Zum Inversionsproblem der Transoperationen.
22) [FORMEL]
wo sich die erste Formel 22) nach dem zweiten Schema 20) ergibt, indem
man α für u sagt. Die zweite 22) geht aus der folgenden dritten hervor,
indem nach 21) leicht zu zeigen, dass 0 ɟ a = 0 ɟ α, ā ; 1 = ᾱ ; 1 wird.
Diese dritte aber ergibt sich systematisch, indem man erst der zweiten
Subsumtion 19) mittelst b ⋹ 0 ɟ a oder b = β(0 ɟ a) genügt, und den Wert
in die erste einträgt. Diese wird: ā ; 1 · a ⋹ 1 ; β(0 ɟ a) = 1 ; β · (0 ɟ a) und
zerfällt in ā ; 1 · a ⋹ 0 ɟ a, was auf 18) hinauskommt, und in ā ; 1 · a ⋹ 1 ; β,
welcher letztern Forderung nach dem Schema 25) des § 18 durch ge-
eignete Bestimmung von β zu genügen ist. Die Lösung wird:
β = u + ā ; 1 · a · (0 ɟ ū), womit b = (0 ɟ a)u + (0 ɟ a) · ā ; 1 · a · (0 ɟ ū)
gewonnen ist, was sich noch wegen (0 ɟ a)a = 0 ɟ a vereinfacht. Sagt
man schliesslich β für die definitiv verbleibende Unbestimmte u des Er-
gebnisses, so hat man die dritte Formel 22) gefunden.
Es ist eine gute Übung für Anfänger auch die Proben 1 und 2 mit
dem Ergebnisse 22) zu machen, also erstens zu zeigen, dass die Resul-
tante 17) für beliebige α und β durch das System der Ausdrücke 22) er-
füllt wird, und zweitens nachzuweisen, dass man ein gegebenes der Resul-
tante 17) genügendes Wertepaar a, b mittelst der Annahme α = a, β = b
aus 22) richtig erhält.
Jenes führt durch Einsetzung nach einigen Umformungen unter An-
wendung bereits bekannter Sätze zu der Formel:
α ɟ 0 ɟ α = α ɟ 0 + (0 ɟ α) · 1 ; β + (0 ɟ α) · 1 ; ᾱ ; 1,
welche sowol für α = 1 als für α ≠ 1 mit einiger Kunst zu recht-
fertigen ist.
Dieses führt auf die aus der Voraussetzung 17) zu verifizirende Relation:
(0 ɟ a){b + ā ; 1 · (0 ɟ b̄)} = b oder (0 ɟ a) · ā ; 1 · b̄(0 ɟ b̄) + b · 1 ; ā = 0
wo in der That der erste Term wegen ā ; 1 · (0 ɟ b̄) = ā und ā(0 ɟ a) = 0,
der letzte wegen (1 ; b ⋹ a) = (b ⋹ 0 ɟ a) = (1 ; ā ⋹ b̄) verschwindet.
Wir haben oben die Resultante der Elimination von b aus der
Gleichung 17) abgeleitet. Man kann aber endlich auch die Frage auf-
werfen nach der Resultante der Elimination von a aus dieser Gleichung
17) — als einer Relation für b. Die Antwort lautet: eine solche gibt
es nicht. Das Relativ b kann beliebig angenommen werden, und es
lässt sich allemal ein a bestimmen, welches dann die Gleichung 17)
erfüllt.
Zu dem Ende braucht man in der That nur in dem Ausdrucke 22)
a = α ɟ 0 ɟ α zu nehmen:
α = 1 ; b.
Damit wird auch 0 ɟ α = 1 ; b und a = 1 ; b ɟ 1 ; b = 1 ; b, welch letz-
terer Vereinfachung zugrunde liegt der
Schröder, Algebra der Relative. 19
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895 |
URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/303 |
Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 289. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/303>, abgerufen am 01.09.2024. |