Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 20. Zum Inversionsproblem der Transoperationen.

Es bleibt nun noch die Frage zu erledigen: auf welche Weise
der Relation zwischen a und b, als welche die Resultante nach x bei
unserm Probleme sich darstellt, auf die allgemeinste Weise zu genügen
ist, m. a. W. es bleibt diese Resultante noch nach den Unbekannten a
und b aufzulösen.

Ich will nicht nur die Begründungen, sondern auch die Ergeb-
nisse blos für die Gleichung
17) a = a ɟ 0 + 1 ; b
als den Repräsentanten der vier Probleme angeben.

Diese Gleichung liefert als eine Relation für a selbst eine Resul-
tante durch Elimination von b. Zwar durch Elimination des Terms
„1 ; b“ findet man weiter nichts als die Forderung a ɟ 0 ⋹ a, die als
identisch erfüllte auf 0 = 0 hinausläuft. Anders bei Elimination von b.^*)

Die Resultante lautet:
18) a⋹a ɟ 0 ɟ a
worin das Subsumtionszeichen, da die umgekehrte Einordnung ohnehin
stattfindet, auch in ein Gleichheitszeichen verwandelt werden darf.

Sie ergibt sich wie folgt. Wie schon erkannt, ist die Gleichung 17)
äquivalent dem Produkt der beiden Subsumtionen:
(a ⋹ a ɟ 0 + 1 ; b)(1 ; b ⋹ a).

Die erstre von diesen gibt: 0 ɟ b̄ ⋹ a ɟ 0 + ā, die letztere:
b⋹ 0 ɟ a, 1 ; ā ⋹ b̄, 0 ɟ 1 ; ā = 1 ; ā ⋹ 0 ɟ b̄.
Aus beiden Ergebnissen folgt a fortiori:
1 ; ā ⋹ a ɟ 0 + ā oder a ⋹ a ɟ 0 + 0 ɟ a = a ɟ 0 ɟ a, q. e. d.

*) Diese Thatsache ist für den Mathematiker geradezu verblüffend. In ihr
dokumentirt sich ein weitrer tiefwurzelnder Unterschied zwischen den Eliminations-
problemen in Arithmetik und Logik. [Ein Unterschied bestand schon in der
Unabhängigkeit des Problems von der Anzahl der Gleichungen hier, gegenüber
seiner Abhängigkeit dort.] Wenn in der arithmetischen Analysis ein Eliminand x
überall nur in der Verbindung φ(x) vorkommt, so ist im Allgemeinen die Elimi-
nation von x zugleich mit der von φ(x) geleistet; beide Eliminationen liefern die-
selbe Resultante, die erstere läuft einfach auf die letztere hinaus. Hier dagegen
kommt der Eliminand b lediglich in der Verbindung 1 ; b vor und dennoch führt
die Elimination von b und die von 1 ; b zu ganz verschiednen Resultanten! Woran
liegt dies nun? Bei genauerm Zusehn erkennt man wie dies davon kommt, dass
der Ausdruck 1 ; b nicht jedes beliebige Relativ, sondern nur Relative von einer
bestimmten Sorte vorzustellen fähig ist, m. a. W. davon: weil die [zur relativen
Multiplikation mit 1] inverse Operation nicht unbedingt ausführbar ist. Und dar-
nach erscheint natürlich die so frappante Thatsache doch als begreiflich.