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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Siebente Vorlesung.

des § 15 -- (a j 0)an = 0, also bleibt nur noch x = (a j 0)x oder x a j 0
zu erweisen, was wir schon vorhin aus x ; 1 a gefolgert haben -- q. e. d.

Die systematische Herleitung des Ergebnisses in 14) aber bietet
folgende Momente.

Man kann aus 15) von den beiden Unbekannten u und v die eine
eliminiren und die andre zu bestimmen suchen.

Zur Elimination von v genügen schon die Regeln des identischen Kal-
kuls, und ergibt sich für u die Bedingung:
u + a(un j 0)(0 j bn) a j 0
welche schneller aus x ; 1 a oder x a j 0 zu erlangen, da die linke
Seite den der einen Teilsubsumtion der aufzulösenden Gleichung genügenden
Wert von x darstellt, welcher nun blos noch der andern Teilsubsumtion
zu genügen hat.

Aus analoger Erwägung ergäbe sich im Hinblick auf 11) als Resul-
tante der Elimination von u:
a(0 j bn) v(a j 0) ; 1 = (a j 0) · v ; 1.
Beide Resultanten zerfallen. Jene in
ua j 0 und a(un j 0)(0 j bn) a j 0
oder un j 0 a j 0 + an + 1 ; b.
Diese in a(0 j bn) a j 0 und a(0 j bn) v ; 1.

Was jene betrifft, so ist merkwürdig, dass man zu einem Zirkel ge-
führt wird, sobald man u zuerst ihrer zweiten Teilforderung entsprechend
bestimmt -- was nach den zweiten Inversionsproblemen keine Schwierig-
keit bereitet. Dagegen führt der umgekehrte Gang zum Ziele: indem man
mittelst u = w(a j 0) die erste Teilforderung auf die allgemeinste Weise
erfüllt, ergibt sich für w aus der zweiten:
(wn + an ; 1) j 0 = wn j 0 + an ; 1 a j 0 + an + 1 ; b -- vergl. 24) des § 18 --
und dies zerfällt in an ; 1 a j 0 + an + 1 ; b, was zur Resultante der Eli-
mination von x einen Beitrag, der kein andrer als 16) ist, liefert, und in
wn j 0 a j 0 + an + 1 ; b, welcher Forderung durch geeignete Bestimmung
von w nun noch leicht zu genügen ist. Man findet durch Rückwärts-
einsetzung den in 14) angegebenen Wurzelwert, wenn die zuletzt ver-
bleibende Unbestimmte schliesslich (unter Aufgebung vorgängiger Be-
nennungen) wieder u genannt wird.

Was diese, die Resultante nach u, die nur noch v enthält, betrifft,
so ist deren erste Teilforderung schon selber jener Beitrag 16) zur Resul-
tante nach x, und führt die Auflösung nach v der zweiten Teilforderung
noch rascher zu dem gewünschten Ergebnisse -- indem man den Ausdruck
von v gemäss 25) des § 18 gebildet in denjenigen der Wurzel x einträgt
und die kleine Reduktion von (a j 0)a in a j 0 vornimmt.

Auf zwei Wegen liess sich also die gesuchte Lösung des Problems
aus denen früherer Probleme systematisch herleiten.

Siebente Vorlesung.

des § 15 — (a ɟ 0)ā = 0, also bleibt nur noch x = (a ɟ 0)x oder x ⋹ a ɟ 0
zu erweisen, was wir schon vorhin aus x ; 1 ⋹ a gefolgert haben — q. e. d.

Die systematische Herleitung des Ergebnisses in 14) aber bietet
folgende Momente.

Man kann aus 15) von den beiden Unbekannten u und v die eine
eliminiren und die andre zu bestimmen suchen.

Zur Elimination von v genügen schon die Regeln des identischen Kal-
kuls, und ergibt sich für u die Bedingung:
u + a(ū ɟ 0)(0 ɟ b̄) ⋹ a ɟ 0
welche schneller aus x ; 1 ⋹ a oder x ⋹ a ɟ 0 zu erlangen, da die linke
Seite den der einen Teilsubsumtion der aufzulösenden Gleichung genügenden
Wert von x darstellt, welcher nun blos noch der andern Teilsubsumtion
zu genügen hat.

Aus analoger Erwägung ergäbe sich im Hinblick auf 11) als Resul-
tante der Elimination von u:
a(0 ɟ b̄) ⋹ v(a ɟ 0) ; 1 = (a ɟ 0) · v ; 1.
Beide Resultanten zerfallen. Jene in
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Diese in a(0 ɟ b̄) ⋹ a ɟ 0 und a(0 ɟ b̄) ⋹ v ; 1.

Was jene betrifft, so ist merkwürdig, dass man zu einem Zirkel ge-
führt wird, sobald man u zuerst ihrer zweiten Teilforderung entsprechend
bestimmt — was nach den zweiten Inversionsproblemen keine Schwierig-
keit bereitet. Dagegen führt der umgekehrte Gang zum Ziele: indem man
mittelst u = w(a ɟ 0) die erste Teilforderung auf die allgemeinste Weise
erfüllt, ergibt sich für w aus der zweiten:
(w̄ + ā ; 1) ɟ 0 = w̄ ɟ 0 + ā ; 1 ⋹ a ɟ 0 + ā + 1 ; b — vergl. 24) des § 18 —
und dies zerfällt in ā ; 1 ⋹ a ɟ 0 + ā + 1 ; b, was zur Resultante der Eli-
mination von x einen Beitrag, der kein andrer als 16) ist, liefert, und in
w̄ ɟ 0 ⋹ a ɟ 0 + ā + 1 ; b, welcher Forderung durch geeignete Bestimmung
von w nun noch leicht zu genügen ist. Man findet durch Rückwärts-
einsetzung den in 14) angegebenen Wurzelwert, wenn die zuletzt ver-
bleibende Unbestimmte schliesslich (unter Aufgebung vorgängiger Be-
nennungen) wieder u genannt wird.

Was diese, die Resultante nach u, die nur noch v enthält, betrifft,
so ist deren erste Teilforderung schon selber jener Beitrag 16) zur Resul-
tante nach x, und führt die Auflösung nach v der zweiten Teilforderung
noch rascher zu dem gewünschten Ergebnisse — indem man den Ausdruck
von v gemäss 25) des § 18 gebildet in denjenigen der Wurzel x einträgt
und die kleine Reduktion von (a ɟ 0)a in a ɟ 0 vornimmt.

Auf zwei Wegen liess sich also die gesuchte Lösung des Problems
aus denen früherer Probleme systematisch herleiten.

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[286/0300] Siebente Vorlesung. des § 15 — (a ɟ 0)ā = 0, also bleibt nur noch x = (a ɟ 0)x oder x ⋹ a ɟ 0 zu erweisen, was wir schon vorhin aus x ; 1 ⋹ a gefolgert haben — q. e. d. Die systematische Herleitung des Ergebnisses in 14) aber bietet folgende Momente. Man kann aus 15) von den beiden Unbekannten u und v die eine eliminiren und die andre zu bestimmen suchen. Zur Elimination von v genügen schon die Regeln des identischen Kal- kuls, und ergibt sich für u die Bedingung: u + a(ū ɟ 0)(0 ɟ b̄) ⋹ a ɟ 0 welche schneller aus x ; 1 ⋹ a oder x ⋹ a ɟ 0 zu erlangen, da die linke Seite den der einen Teilsubsumtion der aufzulösenden Gleichung genügenden Wert von x darstellt, welcher nun blos noch der andern Teilsubsumtion zu genügen hat. Aus analoger Erwägung ergäbe sich im Hinblick auf 11) als Resul- tante der Elimination von u: a(0 ɟ b̄) ⋹ v(a ɟ 0) ; 1 = (a ɟ 0) · v ; 1. Beide Resultanten zerfallen. Jene in u⋹a ɟ 0 und a(ū ɟ 0)(0 ɟ b̄) ⋹ a ɟ 0 oder ū ɟ 0 ⋹ a ɟ 0 + ā + 1 ; b. Diese in a(0 ɟ b̄) ⋹ a ɟ 0 und a(0 ɟ b̄) ⋹ v ; 1. Was jene betrifft, so ist merkwürdig, dass man zu einem Zirkel ge- führt wird, sobald man u zuerst ihrer zweiten Teilforderung entsprechend bestimmt — was nach den zweiten Inversionsproblemen keine Schwierig- keit bereitet. Dagegen führt der umgekehrte Gang zum Ziele: indem man mittelst u = w(a ɟ 0) die erste Teilforderung auf die allgemeinste Weise erfüllt, ergibt sich für w aus der zweiten: (w̄ + ā ; 1) ɟ 0 = w̄ ɟ 0 + ā ; 1 ⋹ a ɟ 0 + ā + 1 ; b — vergl. 24) des § 18 — und dies zerfällt in ā ; 1 ⋹ a ɟ 0 + ā + 1 ; b, was zur Resultante der Eli- mination von x einen Beitrag, der kein andrer als 16) ist, liefert, und in w̄ ɟ 0 ⋹ a ɟ 0 + ā + 1 ; b, welcher Forderung durch geeignete Bestimmung von w nun noch leicht zu genügen ist. Man findet durch Rückwärts- einsetzung den in 14) angegebenen Wurzelwert, wenn die zuletzt ver- bleibende Unbestimmte schliesslich (unter Aufgebung vorgängiger Be- nennungen) wieder u genannt wird. Was diese, die Resultante nach u, die nur noch v enthält, betrifft, so ist deren erste Teilforderung schon selber jener Beitrag 16) zur Resul- tante nach x, und führt die Auflösung nach v der zweiten Teilforderung noch rascher zu dem gewünschten Ergebnisse — indem man den Ausdruck von v gemäss 25) des § 18 gebildet in denjenigen der Wurzel x einträgt und die kleine Reduktion von (a ɟ 0)a in a ɟ 0 vornimmt. Auf zwei Wegen liess sich also die gesuchte Lösung des Problems aus denen früherer Probleme systematisch herleiten.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 286. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/300>, abgerufen am 23.11.2024.

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