Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 20. Die Quaderrelative.

Die Matrix von d setzt sich zusammen aus einem System von Voll-
zeilen verbunden mit einem System von Vollkolonnen, und zwar entspringen
die Vollzeilen von d aus den besetzten Zeilen von a, die Vollkolonnen
von d aus den besetzten Kolonnen von b.

Es lässt sich zeigen, dass die vorstehend betonten Eigenschaften:
5)

Π_i j h k(c_i jc_h k = c_i kc_h j)	Π_i j h k(d̄_i jd̄_h k = d̄_i kd̄_h j) oder:
	Π_i j h k(d_i j + d_h k = d_i k + d_h j)

charakteristisch für Relative von der Entstehungsweise unsres c und d sind.

Dies braucht blos für b gezeigt zu werden, weil d sich offenbar als
Negat eines für ā, b̄ gebildeten c ansehen lässt.

Gilt nun also für ein irgendwie gegebnes Relativ c stets: c_{i j}c_{h k} = c_{i k}c_{h j},
so muss gezeigt werden, dass c sich als (a ɟ 0)(0 ɟ b) für ein gewisses Paar
von Relativen a und b darstellen lässt.

Dies gelingt mit der Annahme
a = c ; 1, b = 1 ; c,
wo dann nach 16) des § 15:
a ɟ 0 = c ; 1 ɟ 0 = c ; 1, 0 ɟ b = 0 ɟ 1 ; c = 1 ; c,
somit
(a ɟ 0)(0 ɟ b) = c ; 1 ; c,
{(a ɟ 0)(0 ɟ b)}_{i j} = Σ_{h k}c_{i h}c_{k j} laut Hypothesis = Σ_{h k}c_{i j}c_{h k} = c_{i j}Σ_{h k}c_{h k} = c_{i j}
sein muss, indem unter den Gliedern der Σ_{h k} sich auch c_{i j} selbst befindet.
Somit ist in der That für die genannten Werte von a und b bewiesen, dass
c = (a ɟ 0)(0 ɟ b).

Wir wollen demgemäss die provisorisch als Erzeugniss von
„Transoperationen“ eingeführten Relative von den Sorten c und d hin-
fort als Quaderrelative bezeichnen.

Und zwar soll ein Relativ von der Form c = (a ɟ 0)(0 ɟ b) ein
Augenquaderrelativ heissen [genauer: das Augenquaderrelativ zu a und b,
während das Augenquaderrelativ „zu a und a“, nämlich (a ɟ 0)(0 ɟ a),
kürzer blos das Augenquaderrelativ „zu a“ genannt werde].

Desgleichen soll ein Relativ von der Form d = a ; 1 + 1 ; b ein
Lückenquaderrelativ heissen (genauer: etc.).

Unter einem Stellenquader verstehn wir dabei ein System von vier
solchen Stellen, welche die Ecken eines Reihenrechtecks bilden, in
denen also irgend zwei Zeilen mit irgend zwei Kolonnen zusammen-
treffen.

Grenzfälle des Augenquaderrelativs sind: 0 selbst, ferner ein Relativ,
welches blos ein Auge und sonst lauter Leerstellen hat (Einauge), weiter
ein solches, das zwei oder mehr in einer (sei es Horizontal- sei es Vertikal-)
Flucht stehende Augen und sonst lauter Leerstellen hat. In diesen Aus-