Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Sechste Vorlesung.

in deren erstem und letztem die Anzahl der möglicherweise noch verschiednen
Zeilenabwandlungen sich leicht als 32 erweist, während sie sich in den
beiden mittleren Fällen sogar nur als 16 herausstellt. Die oben erkannte
Maximalanzahl der Zeilenrelative von a kann also faktisch höchstens hälftig
erreicht werden und reduzirt sich eventuell noch weiter. Dem Anfänger
eröffnet sich hier ein kleines Untersuchungsfeld.

Noch anders liegt die Sache beim Denkbereiche 1 ½ von zwei Elementen.
Hier verlieren manche von unsern allgemeinen Sätzen ihre Geltung; es treten
Ausnahmen ein — allerdings nur da vielleicht, wo relative Moduln in die
Knüpfungen eingehn. Nicht nur kommt hier ebenfalls die Kategorie β in
Wegfall, sondern es fallen auch die beiden Kategorieen α und γ in eine
zusammen; es ist: α = γ, weil die einbesetzten Zeilen hier auch einlückige
sein müssen.

Behalten wir α als Namen für diese koinzidirenden Kategorieen bei,
so werden wir als allgemeines Zeilenschema haben:
a = 1α0,
und kann die Anzahl der Zeilenabwandlungen 16 jedenfalls nicht über-
steigen — das um so weniger, als es jetzt überhaupt nur 16 Relative gibt.
Wie sonst ist:
a ; 1 = 110, a ɟ 0 = 100, ā = 0ᾱ1, ā ; 1 = 011, ā ɟ 0 = 001.
Für a ; 0' und a ɟ 1' dagegen würde das Schema 3) S. 205 nicht aufrecht zu
erhalten sein, indem es sowol 110 wie 1ᾱ0, resp. 1ᾱ0 wie 100 wider-
sprechend ergäbe, jenachdem die mittlere Ziffer von a angesehen wird als
Repräsentant der frühern Kategorie α, oder der γ.

In Wirklichkeit gilt bei a ; 0' das letztere, bei a ɟ 1' das erstere, mit-
hin bei beiden Modulknüpfungen übereinstimmend das nämliche. Doch
muss man, um dies zu eruiren, auf die ursprüngliche Koeffizientenbedeutung
für die Modulknüpfungen a ; 0' und a ɟ 1' zurückgehn.

Halten wir das, eine bestimmte von den beiden Zeilen markirende i
fest, und denken uns den Kategorieen 1, α oder 0 entsprechend die beiden
a_{i h} (für h = i und h ≠ i) gegeben, so bleibt uns für jedes der beiden j
zu ermitteln:
(a ; 0')_{i j} = Σ_ha_{i h}0'_{h j} = a_{i A}0'_{A j} + a_{i B}0'_{B j} |
| (a ɟ 1')_{i j} = Π_h(a_{i h} + 1'_{h j}) = (a_{i A} + 1'_{A j})(a_{i B} + 1'_{B j}).
Von den beiden Modulkoeffizienten wird sicher der eine = 0, der andre
= 1 sein, weil j entweder A oder B bedeuten muss. Sind daher nach h
beide a_{i h} gleich 1, so werden auch unsre Modulknüpfungskoeffizienten sicher
gleich 1, sind jene beiden gleich 0, so werden es auch diese. Den Voll-
und Leerzeilen von a entsprechen also wieder Voll- resp. Leerzeilen bei
a ; 0' und a ɟ 1'.

Gehört dagegen die i^te Zeile von a der Kategorie α an, so muss von
den nach h beiden a_{i h} das eine = 1, das andre = 0 sein.

Nennen wir dann j den von i verschiednen Index, so wird in Betracht
kommen: