Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Sechste Vorlesung.

folgenden Sätze, welche jedenfalls verdienen unter den auf Zeilen-
relative bezüglichen mitangeführt zu werden:
21) [Formel 1]
22) [Formel 2]
Dieselben sind äusserst leicht nachzurechnen.

Die höheren irreduziblen relativen Modulknüpfungen werden dem-
nach das a nicht „am Rande“, als ersten oder letzten Term, aufweisen
können, folglich sowol Zeilen- als Kolonnenoperationen involviren.

Inbezug auf Beweismethoden gestatte ich mir hier eine Bemerkung
anzuknüpfen auf die noch einigemal zurückzukommen sein wird.

Natürlich kann der Beweis aller unsrer Formeln auch mittelst
Zurückführung auf die „Koeffizientenevidenz“ geleistet werden. Jede
Formel liefert uns — falls sie etwa eine Gleichung L = R ist, in
Gestalt von L_{i j} = R_{i j} — ein richtiges Schema des Aussagenkalkuls,
dessen Richtigkeit auch rein analytisch nachweisbar sein muss. Diesen
Nachweis zu erbringen ist aber oft eine nicht zu unterschätzende
Kunst. Dies möge zunächst durch ein paar Beispiele illustrirt werden.
Zu dem Ende wollen wir einmal die erste Formel 21) auf solchem
Wege beweisen.

Es wird die Richtigkeit des Schemas:
L_{i j} = Π_hΣ_kΠ_l(a_{i l} + 1'_{l k})0'_{k h} = Π_ha_{i h} = R_{i j}
darzuthun sein. Diese ist aber auf den ersten Blick selbst für den Ge-
übten keineswegs ersichtlich. Man kann verbal überlegen:

Im Π_l muss l ≠ k und in der Σ_k muss k ≠ h sein. Folglich ist der
Wert h für l effektiv zulässig; denn für l = h wird bei jedem k ≠ h der
Forderung l ≠ k schon von selbst genügt sein. D. h. in jedem Glied der
Σ_k tritt der Faktor a_{i h} auf und lässt sich vorziehen bis er dicht hinter
dem Π_h von L_{i j} steht.

Ist nun bei gegebnem i auch nur eines der a_{i h} gleich 0, so kommt
die Gleichung auf 0 = 0 hinaus, weil beiderseits mindestens ein verschwin-
dender Faktor a_{i h} in dem Π_h auftritt, und ist ihre Richtigkeit erwiesen. Die-
selbe bleibt demnach nur mehr für den Fall darzuthun, wo alle a_{i h} = 1
sind. Wenigstens unter dieser Voraussetzung muss dann gezeigt werden,
dass der Faktor, den das in L_{i j} = Π_ha_{i h} · etc. vorgezogene a_{i h} erhält, für
jedes h gleich 1 ist. Dieser Faktor „etc.“ wird rigoros den Ausdruck haben:
Σ_k0'_{k h}Π_l(a_{i l} + 1'_{l k} + 1'_{l h}) = 1,
weil in dem Π_l neben a_{i k} nach Vorziehung von a_{i h} auch dieser Faktor
fehlen muss; da jedoch tautologische Wiederholung desselben erlaubt ist,