16)
[Formel 1]
, wozu noch xn = 1 ; (pu + qun) ; 1 · un + (pn + q){0 j (pnu + qnun) j 0} gehört und zu bemerken ist, dass der Faktor pqn auch durch p + qn (sowie durch p oder qn allein) ersetzbar wäre.
Die Verifikation von 14) und 15) dem Leser überlassend, beweisen wir 16) wie folgt.
Entweder ist pu + qun 0, also pnu + qnun 1 und 1 ; (pu + qun) ; 1 = 1, 0 j (pnu + qnun) j 0 = 0; dann wird x = u, mithin px + qxn 0 und stimmen beide Proben.
Oder es ist pu + qun = 0 (was auch pq = 0 involvirt); alsdann wird 1 ; (pu + qun) ; 1 = 0, 0 j (pnu + qnun) j 0 = 1, x = pqn, xn = pn + q, px = pqn = pqn + pq = p, qxn = q, px + qxn = p + q 0, und stimmt abermals die Probe 1, während die Probe 2 gar nicht in Frage kommen kann, q. e. d.
NB. Dass bei dem regelrecht gebildeten xn das Glied un(pn + q) unter- drückbar war beruhte auf dem Satze Bd. 1, S. 376: ra + ab + brn = ra + brn, wobei r das ausgezeichnete Relativ im ersten Gliede von x oder xn vertrat.
Hervorhebung verdient der Unterfall von 16) (anx + axn 0), in welchem die Resultante p + q 0 der Elimination des x im allgemeinern Probleme -- als in der Gestalt an + a = 1 0 von selbst erfüllt -- entfällt. Wir haben also: 17)
[Formel 2]
und wird hier in der That x = u sobald ua, dagegen x = an sobald u = a angenommen ist; unbedingt also wird stets xa.
Als eine Nutzanwendung der Formel 14) wollen wir auch noch das allgemeinste Relativ angeben, welches bezüglich Selbst- resp. Alio- relativ, Konkurrent oder Opponent ist -- vergl. (a) bis (d) des § 9, S. 131 sq. Während darnach 18)
[Formel 3]
ohne weitres einleuchtet, ist Berufung (für p = 1', 0') auf 14) erforder- lich, um in Gestalt von 19)
[Formel 4]
auch die beiden letzten Relative zu gewinnen.
§ 14. Beispiele von Lösungen.
16)
[Formel 1]
, wozu noch x̄ = 1 ; (pu + qū) ; 1 · ū + (p̄ + q){0 ɟ (p̄u + q̄ū) ɟ 0} gehört und zu bemerken ist, dass der Faktor pq̄ auch durch p + q̄ (sowie durch p oder q̄ allein) ersetzbar wäre.
Die Verifikation von 14) und 15) dem Leser überlassend, beweisen wir 16) wie folgt.
Entweder ist pu + qū ≠ 0, also p̄u + q̄ū ≠ 1 und 1 ; (pu + qū) ; 1 = 1, 0 ɟ (p̄u + q̄ū) ɟ 0 = 0; dann wird x = u, mithin px + qx̄ ≠ 0 und stimmen beide Proben.
Oder es ist pu + qū = 0 (was auch pq = 0 involvirt); alsdann wird 1 ; (pu + qū) ; 1 = 0, 0 ɟ (p̄u + q̄ū) ɟ 0 = 1, x = pq̄, x̄ = p̄ + q, px = pq̄ = pq̄ + pq = p, qx̄ = q, px + qx̄ = p + q ≠ 0, und stimmt abermals die Probe 1, während die Probe 2 gar nicht in Frage kommen kann, q. e. d.
NB. Dass bei dem regelrecht gebildeten x̄ das Glied ū(p̄ + q) unter- drückbar war beruhte auf dem Satze Bd. 1, S. 376: ra + ab + br̄ = ra + br̄, wobei r das ausgezeichnete Relativ im ersten Gliede von x oder x̄ vertrat.
Hervorhebung verdient der Unterfall von 16) (āx + ax̄ ≠ 0), in welchem die Resultante p + q ≠ 0 der Elimination des x im allgemeinern Probleme — als in der Gestalt ā + a = 1 ≠ 0 von selbst erfüllt — entfällt. Wir haben also: 17)
[Formel 2]
und wird hier in der That x = u sobald u ≠ a, dagegen x = ā sobald u = a angenommen ist; unbedingt also wird stets x ≠ a.
Als eine Nutzanwendung der Formel 14) wollen wir auch noch das allgemeinste Relativ angeben, welches bezüglich Selbst- resp. Alio- relativ, Konkurrent oder Opponent ist — vergl. (α) bis (δ) des § 9, S. 131 sq. Während darnach 18)
[Formel 3]
ohne weitres einleuchtet, ist Berufung (für p = 1', 0') auf 14) erforder- lich, um in Gestalt von 19)
[Formel 4]
auch die beiden letzten Relative zu gewinnen.
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[199/0213]
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16) [FORMEL],
wozu noch x̄ = 1 ; (pu + qū) ; 1 · ū + (p̄ + q){0 ɟ (p̄u + q̄ū) ɟ 0} gehört und
zu bemerken ist, dass der Faktor pq̄ auch durch p + q̄ (sowie durch p
oder q̄ allein) ersetzbar wäre.
Die Verifikation von 14) und 15) dem Leser überlassend, beweisen
wir 16) wie folgt.
Entweder ist pu + qū ≠ 0, also p̄u + q̄ū ≠ 1 und 1 ; (pu + qū) ; 1 = 1,
0 ɟ (p̄u + q̄ū) ɟ 0 = 0; dann wird x = u, mithin px + qx̄ ≠ 0 und stimmen
beide Proben.
Oder es ist pu + qū = 0 (was auch pq = 0 involvirt); alsdann wird
1 ; (pu + qū) ; 1 = 0, 0 ɟ (p̄u + q̄ū) ɟ 0 = 1,
x = pq̄, x̄ = p̄ + q,
px = pq̄ = pq̄ + pq = p, qx̄ = q, px + qx̄ = p + q ≠ 0,
und stimmt abermals die Probe 1, während die Probe 2 gar nicht in Frage
kommen kann, q. e. d.
NB. Dass bei dem regelrecht gebildeten x̄ das Glied ū(p̄ + q) unter-
drückbar war beruhte auf dem Satze Bd. 1, S. 376:
ra + ab + br̄ = ra + br̄,
wobei r das ausgezeichnete Relativ im ersten Gliede von x oder x̄ vertrat.
Hervorhebung verdient der Unterfall von 16) (āx + ax̄ ≠ 0), in
welchem die Resultante p + q ≠ 0 der Elimination des x im allgemeinern
Probleme — als in der Gestalt ā + a = 1 ≠ 0 von selbst erfüllt —
entfällt. Wir haben also:
17) [FORMEL]
und wird hier in der That x = u sobald u ≠ a, dagegen x = ā sobald
u = a angenommen ist; unbedingt also wird stets x ≠ a.
Als eine Nutzanwendung der Formel 14) wollen wir auch noch
das allgemeinste Relativ angeben, welches bezüglich Selbst- resp. Alio-
relativ, Konkurrent oder Opponent ist — vergl. (α) bis (δ) des § 9,
S. 131 sq. Während darnach
18) [FORMEL]
ohne weitres einleuchtet, ist Berufung (für p = 1', 0') auf 14) erforder-
lich, um in Gestalt von
19) [FORMEL]
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 199. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/213>, abgerufen am 18.02.2025.
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