Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 13. Konvergente Iterationen.

allgemein: f^r(x) = x und f^∞(x) = x. Es hat nämlich wegen {f^r(x)}_{i j} = x_{i j}
nicht nur von einem bestimmten Werte des r an, sondern überhaupt, der
linkseitige Koeffizient den Wert des rechtseitigen, somit trägt f^r(x) die
Augen des x als definitive Besetzung seiner Matrixstellen und hat die Leer-
stellen des x zu definitiv unbesetzten Stellen. Hiedurch eben war aber das
Relativ f^∞(x) zu bestimmen, sodass von letzterem das nämliche gilt.

Mithin stimmt die Probe 2 und erscheint es sichergestellt, dass
unsre Lösung 1) sämtliche Wurzeln des betreffenden Problemes liefert.

Nicht ganz so einfach ist jedoch Ersteres, nämlich die „Probe 1“
oder der Nachweis zu leisten, dass unsre Lösung 1) auch (für jedes u)
immer nur Wurzeln des Problemes liefere.

Gibt man freilich den jedem Mathematiker schon geläufigen Satz
zu, dass wenn f^∞(u) einen Sinn hat, nämlich f^r(u) bei unbegrenzt wach-
sendem r konvergirt, dann f^{∞ + 1}(u), aufgefasst als f{f^∞(u)}, = f^∞(u)
selbst sein müsse, so ist der Beweis leicht zu führen, indem wir haben:
f^∞(u) = f{f^∞(u)} = f^∞(u)φ{f^∞(u)} ⋹ φ{f^∞(u)}, somit f^∞(u) ⋹ φ{f^∞(u)} |
| ψ{f^∞(u)} ⋹ f^∞(u) + ψ{f^∞(u)} = f{f^∞(u)} = f^∞(u), somit ψ{f^∞(u)} ⋹ f^∞(u),
womit also für x = f^∞(u) in der That die Probe 1 stimmt, nämlich
für jedes u sich x ⋹ φ(x) resp. ψ(x) ⋹ x erweist.

Allein jener „Satz“ selbst ist für unsre Disziplin nicht so ganz
einfach zu erhärten. Bevor ich ihn in seiner Allgemeinheit bespreche,
will ich auf den vorliegenden Anwendungsfall mich beschränkend —
z. B. links vom Mittelstriche — sagen:

Nach linkseitigem Schema 12), für unbegrenzt wachsende Itera-
tionsexponenten r in Anspruch genommen, hat f^∞(u) zum Faktor:
φ{f^r(u)} für jedes noch so grosse r gebildet, mithin hat es auch
φ{f^∞(u)} selbst zum Faktor und muss diesem eingeordnet sein. M. a. W.
bei der Bildung des unbegrenzten Produktes, als welches wir f^∞(u) zu
gewinnen hatten, tritt zu der Folge der schon angesetzten Faktoren
ohne Ende fort immer φ von allem Bisherigen als weitrer Faktor
hinzu; unter „allem Bisherigen“ figurirt („schliesslich“?) auch das Ganze
f^∞(u) selbst — q. e. d.(?).

Diese Überlegung ist jedenfalls unanfechtbar, sobald unser Denk-
bereich ein endlich begrenzter sein sollte. Denn alsdann ist auch die
Menge der überhaupt denkbaren Relative eine endlich begrenzte; es
können die Faktoren unsrer Faktorenfolge nicht ohne Ende fort ver-
schieden ausfallen und muss schliesslich das Produkt konstant werden,
nämlich sich beim Hinzutritt der weitern Faktoren tautologisch wieder-
erzeugen. In diesem f^∞(u) kommt dann φ{f^∞(u)} als Faktor wirk-
lich vor.