Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 13. Invarianz einer Funktion.

Dies ist im Allgemeinen von f(u) verschieden — wie leicht z. B.
die Annahme b = ā zeigt, wo für f(u) = au + āū nun f²(u) = u = f⁰(u)
wird, etc.

Dagegen wird im obigen allgemeinen Falle wieder: f³(u) = f(u),
f⁴(u) = f²(u), etc., allgemein:
f^{2ϰ + 1}(u) = f(u), f^{2ϰ + 2}(u) = f²(u),
mithin ist f^r(u) divergent und f^∞(u) sinnlos, ausgenommen in dem
oben angeführten Sonderfalle, wo schon f²(u) = f(u) und diese Funk-
tion invariant ist.

Gibt es ein Zahlenpaar m, n derart, dass bei einer bestimmten
Funktion f(u) für jedes u ist:
f^{m + n}(u) = f^m(u),
so nennen wir die Funktion eine „periodisch (oder oszillirend) iterirende
mit einer Iterationsperiode n“, oder schlechtweg „mit der Iterations-
periode n“, falls n zugleich die kleinste Zahl von der genannten Eigen-
schaft sein sollte (die in ein solches Zahlenpaar m, n eingeht).

Darnach subsumirt sich der Begriff einer invarianten Funktion unter
denjenigen einer periodisch iterirenden Funktion von der Periode 1.

Während die Iterationen einer solchen konvergent sind, wird da-
gegen jede periodisch iterirende Funktion, deren Periode n > 1 ist, eine
divergent iterirende sein müssen.

Kürzehalber mag dies nur ein Beispiel erläutern. Sei etwa allgemein
— wenn wir das stets hinzuzudenkende Argument (u) unterdrücken —
f⁸ = f⁵, so wird auch f⁹ = f⁶, f¹⁰ = f⁷, f¹¹ = f⁵, f¹² = f⁶, f¹³ = f⁷, f¹⁴ = f⁵,
u. s. w. Die Iterationen von f, deren Periode gleich 3 ist, werden also
ewig fort von einem der drei (als verschieden vorauszusetzen gewesenen)
Werte f⁵, f⁶, f⁷ zum andern im Ring herum (vom letzten wieder zum
ersten) oszilliren und f^∞ ist keiner bestimmten Deutung fähig.

Solches gilt auch, wenn etwa m = 0, also fⁿ(u) = u selbst sein sollte;
hier wiederholen sich dann beim unbegrenzt fortgesetzten Iteriren in ste-
tiger Folge die Werte f⁰, f, f², f³, …, f^{n — 1}, [f⁰ (oder u), f, etc.].

Für die allgemeine Funktion im identischen Kalkul hat sich oben gezeigt,
dass sie, sofern sie nicht invariant ist, eine periodisch iterirende mit der
Periode 2 sein muss.

Dass auch die relativen Operationen zur Bildung von Funktionen mit
divergenten Iterationen führen können (und im Allgemeinen führen werden)
zeigt schon das Beispiel f(u) = a ; u, in welchem f^r(u) = a^r ; u, gleichwie
die Potenz a^r selbst, im Allgemeinen oszilliren wird.

Für die beiden in unserm Theorem 1) angegebnen Bedeutungen
von f(u) haben wir nun:
12)

fr + 1(u) = fr(u)φ{fr(u)}

fr + 1(u) = fr(u) + ψ{fr(u)}.