Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 13. Potenzen.

[Formel 1] gehört und nun u ; u, = u² = ū, u² ; u, = u³ = u sich herausstellt; es oszil-
lirt, schwankt daher hier regelmässig u^λ ohne Ende fort vom einen zum
andern der beiden Werte u und ū, indem
u^2ϰ = ū, u^{2ϰ + 1} = u
ist, und u^λ ist divergent, das Symbol u_∞ hier sinnlos.

Man könnte freilich diesem sinnlosen Namen einen ganz beliebig zu
wählenden Sinn willkürlich unterlegen. Wie man diese Wahl aber auch
treffen möge, für die sich rationelle Beweggründe nicht auffinden lassen,
so wird die Einführung solchen Namens nicht nur keinen Vorteil gewähren
sondern geradezu schaden; dieser Name wird in kein rationelles Bezeich-
nungsystem passen, insbesondre nicht in das in diesem Buche geschaffene,
ja er wird die Gesetzmässigkeiten jedes solchen stören, wonicht über den
Haufen werfen, wird künstlich Hindernisse bereiten und zur Quelle von
Verlegenheiten werden, indem er zu lästiger Berücksichtigung von allerhand
Ausnahmen nötigen wird, die ohne ihn gar nicht erwachsen konnten, gar
nicht vorhanden waren. Sinnlose Namen, die eine Disziplin hervorbringt,
sind gleichsam Neben- oder Abfallprodukte einer bestimmten (Bezeichnungs-)
Industrie. Zuweilen stellen diese ein wertvolles Rohmaterial vor, das es
in einer andern Industrie zu verarbeiten gelingt und das damit im gesamten
Haushalt der Wissenschaft eine unschätzbare Verwendung findet — so die
im Gebiet der natürlichen Zahlen sinnlosen Namen der negativen Zahlen,
so der als Maasszahl unbrauchbare (im reellen Zahlengebiet sinnlose) Name
[Formel 2] , etc. auf dem erweiterten Zahlengebiete.

Nicht immer aber liegen die Umstände so günstig, vielmehr muss
manches Abwasser auch einfach fortgeschüttet werden.

Nunmehr ist etwa
[Formel 3] eine nahe liegende Exemplifikation für eine konvergente Reihe mit diver-
gentem Allgemeingliede. Dieselbe hat für unser obiges u die Summe
u + ū = 1.

Für die Konvergenz der Potenz u^λ eines Relativs u — bei ohne Ende
wachsendem Exponenten λ — sind die notwendigen und hinreichenden Be-
dingungen noch nicht bekannt. Doch lassen sich einige Umstände als dazu
hinreichende Bedingungen nachweisen.

So muss x^λ mit λ = ∞ konvergiren sowol wenn x die Eigenschaft
hat, dass x ; x ⋹ x ist, als auch wenn es der Eigenschaft x ⋹ x ; x teilhaftig
ist. Im ersteren Falle ist leicht zu folgern, dass x^{λ + 1} ⋹ x^λ, im letzteren,
dass x^λ ⋹ x^{λ + 1} für jedes (noch so grosse) λ sein muss. In jenem werden
sich also bei fortgesetztem relativen Multipliziren mit x die Leerstellen als
endgültige konserviren, indem, wo x^λ eine Leerstelle hat, auch x^{λ + ϰ} eine
solche aufweisen muss; die Potenz konvergirt alsdann „abnehmend“ gegen