Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 13. Unendliche Summen und Produkte.

Faktoren und konvergente Summen (Reihen) mit divergenten Gliedern
— dergleichen in der arithmetischen Analysis für Paradoxieen zu er-
klären wären! Allemal hat
7)

U_∞ = u_0u_1u_2u_3 …

U_∞ = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + … (in infinitum)

unbedingt einen Sinn und völlig bestimmten Wert im Gebiet der
binären Relative.

Dies ist verhältnissmässig leicht hier einzusehen. Es beruht darauf,
dass in dem U_λ links jede Leerstelle definitiv eine solche bleibt, wie viele
Faktoren u_λ bei wachsendem λ auch noch zum Produkt der bisherigen
hinzutreten mögen, bei dem U_λ rechts aber jede besetzte Stelle ihr Auge
permanent, untilgbar beibehalten muss, wie viele Glieder u_λ zur Summe
der bereits vereinigten auch noch hinzutreten mögen. Genauer gesagt: weil
[Formel 1] definirt ist — für jede Auswahl, z. B. Reihe, von Werten u als Erstreckung
des Π, der Σ — so wird es für eine bestimmte Stelle ij nur zwei Mög-
lichkeiten geben und zwar:

Links: entweder gibt es eine Zahl n für welche u_λ bei ij eine Leer-
stelle hat, (u_n)_{i j} = 0 ist, oder nicht. Im erstern Falle hat auch U_λ für
jedes λ > n bei ij eine Leerstelle und wird diese zur definitiv unbesetzten.
Im letztern Falle muss nach λ jedes (u_λ)_{i j} gleich 1 sein und bleibt die
Stelle eine definitiv besetzte.

Rechts: entweder gibt es ein n für welches u_λ bei ij ein Auge trägt,
(u_n)_{i j} = 1 ist, oder solches trifft nicht zu. Im erstern Falle hat auch U_λ
für jedes λ > n an der Stelle ij ein Auge und diese wird zur definitiv
besetzten. Im letztern Falle sind nach λ alle (u_λ)_{i j} gleich 0 und bleibt
die Stelle endgültig leer.

Zu links wie rechts (vom Mittelstriche) erweisen also sämtliche Stellen
der Matrix von U_λ sich als entweder definitiv besetzte oder definitiv un-
besetzte und kann es ein Drittes, kann es oszillatorische Stellen überhaupt
nicht geben — q. e. d.

Dass bei vorstehender Überlegung das numerische Moment der Zahlen-
zeiger nur eine nebensächliche Rolle spielt, wird der einsichtsvolle Leser
sogleich übersehen.

Die Überlegungen bleiben auch stichhaltig, falls etwa in Π_λu_λ der
Zeiger λ ein „Kontinuum“ von Zahlenwerten zu durchlaufen hätte.

Satz und Beweis gelten wesentlich auch für [Formel 2] und [Formel 3] , wie immer
der Erstreckungsbereich beschaffen sein möge.

Denn was z. B. das Π_u betrifft, so muss es zu irgend einem Suffix ij
im Erstreckungsbereiche entweder ein u geben, für welches u_{i j} = 0 ist,
oder nicht. Im erstern Falle hat Π_u bei ij definitiv eine Leerstelle, im
letztern, wo also „nach u alle“ u_{i j} = 1 sind, wird Π_u bei ij eine definitiv
besetzte Stelle haben, und ein Drittes (eine oszillatorisch besetzte Stelle)
bleibt undenkbar.

Etc. (d. h. analog für [Formel 4] ).