Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Fünfte Vorlesung.

nicht völlig bestimmbaren Relativsymbols u_∞ bezeichnen kann; desgleichen
einen mindest umfassenden oder Minimalwert des b, welcher noch der
Forderung u_∞ ⋹ b genügt (der eventuell freilich = 1 sein kann) und
demnach die „obere Grenze“ (limes superior) für u_∞ heisse.

Und man wird nicht selten sagen können, dass u_λ von einem hin-
reichend grossen λ ab beständig zwischen diesen beiden Grenzen schwanke,
nur „Zwischenwerte“ zwischen denselben durchlaufend oder annehmend.

[Mit dem letztern Zusatze indessen, obwohl er häufig zutreffen wird
— insbesondre stets bei endlicher Elementezahl des Denkbereiches mithin
auch endlicher Stellenzahl der Matrix — dürfte für manche Fälle doch
zuviel gesagt sein.

Gibt es z. B. für jede „definitiv besetzte“ Stelle ij eine Zahl n, nach
deren Überschreitung durch λ die Stelle nicht mehr als eine Leerstelle
in u_λ auftreten wird, so gibt es allerdings auch für jede endliche Menge
von solchen Stellen ij eine Zahl — in Gestalt des grössten der den Stellen
der Menge einzeln zugeordneten Werten — von der Eigenschaft, dass,
nachdem λ sie überschritten hat, alle genannten Stellen ihre endgültige
Besetzung gefunden haben müssen und nie mehr in u_λ zu Leerstellen
werden können. Allein wenn die Menge der in Betracht zu ziehenden
Stellen unbegrenzt zunimmt, bleibt es fraglich und künftigen subtilern
Untersuchungen vorbehalten zu entscheiden, ob nicht dieser grösste unter
allen (kleinsten) Werten n (die zu jeder Stelle gehören) dann in der
Zahlenreihe immer weiter hinausrückt und die Reihe der Werte n, als eine
selbst unbegrenzt wachsende, keinen Wert als grössten einschliesst. Dann
würde zwar für jede einzelne Stelle eine Zahl λ = n angebbar, von der ab
die Stelle in u_λ ihre endgültige Besetzung gefunden hat, für die Gesamt-
heit aller definitiv zu besetzenden Stellen aber gleichwohl nicht. Etc.]

Von der Frage der Konvergenz oder Divergenz des allgemeinen
Gliedes (Terms) u_λ unsrer Reihe ist wohl zu unterscheiden die Frage
nach Konvergenz oder Divergenz der Reihe selber, wenn deren Terme
durch eine knüpfende Operation (z. B. Spezies) verbunden gedacht
werden. Werden die Terme der Reihe durch eine identische Spezies
mit einander verknüpft, so erhalten wir ein „unendliches Produkt“ oder
eine „unendliche Summe“ schlechtweg (oder „Reihe“ im engern Sinne).
Dann ist das Knüpfungsergebniss aus den λ + 1 ersten
6)

U_λ = u_0u_1u_2 … u_λ

U_λ = u_0 + u_1 + u_2 + … + u_λ

d. i. „der produktatorische Faktor“ resp. das sogenannte „summatorische
Glied“ der Reihe derjenige allgemeine Term, um dessen Konvergenz
es sich im letztern Falle handelt.

Hier gilt der bemerkenswerte Doppelsatz: Jedes identische unend-
liche Produkt und jede identische unendliche Summe ist konvergent. Und
zwar selbst dann, wenn auch der allgemeine Term u_λ divergiren sollte:
wir haben in unsrer Disziplin konvergente Produkte aus divergenten