Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Fünfte Vorlesung.

— und wenn man will noch obendrein:
5) (f^m)ⁿ(u) = f^{m × n}(u) = (fⁿ)^m(u)
— wie sie in der That Demjenigen, der den Zahlbegriff schon hat, auch
unmittelbar einleuchten werden, indem z. B. bei 4) die drei als gleich
hingestellten Ausdrücke übereinstimmend weiter nichts bedeuten, als die
von u m + n mal hintereinander genommene Funktion f — u. s. w.

Dies vorausgesetzt ist ferner „die unbegrenzte Iteration“ f^∞(u) zu
definiren, sofern der Name fähig ist einer Erklärung, die auf den Be-
griff von f^λ(u) sich gründet und aus dem Verhalten dieses Relativs
für alle und namentlich für unbegrenzt wachsende Iterationsexponenten λ
motivirbar ist. Die Bedingung für letzteres wird die Konvergenz-
bedingung für f^λ(u), scilicet bei unbegrenzt wachsendem λ, zu nennen sein.

Ist überhaupt für die unbegrenzte Reihe von natürlichen Zahlen
λ = 0, 1, 2, 3, … der Wert eines Relativs u_λ bestimmt, z. B. für be-
liebig viele Relative der „Reihe“
u₀, u₁, u₂, u₃, …
aktuell gegeben, für den Rest durch ein Gesetz oder Prinzip begrifflich
festgesetzt, so werden wir bei (als natürliche Zahl) unbegrenzt wach-
sendem Zeiger λ zwar im Allgemeinen zu sagen haben, u_λ „divergire“
und das Symbol u_∞ habe keinen Sinn, doch wird es auch eine Klasse
von Fällen geben, wo man sagen kann, das allgemeine Glied u_λ unsrer
Reihe „konvergire“, indem es einem bestimmten, festen, alsdann mit u_∞
zu bezeichnenden Relativ als „Grenze“ „zustrebt“.

Letzteres ist der Fall, dann und nur dann, wenn für jede durch
ein Suffix ij markirte Stelle der Tafel 1² — oder m. a. W. der Matrix
von u_λ — ein Zahlwert n angebbar ist oder existirt derart, dass in u_λ
die Stelle entweder für jedes λ > n ein Auge trägt, besetzt ist, oder aber
für jedes λ > n leer, unbesetzt bleibt.

Eine Stelle ij der Matrix des mit λ veränderlichen Relativs u_λ
soll eine endgültig, „definitiv“ besetzte Stelle dieses variabeln Relativs
heissen, wenn es solchen Wert n von λ gibt, dass für alle λ welche
> n sind die Stelle in u_λ sich als besetzt erweist; sie soll eine end-
gültig unbesetzte oder definitive Leerstelle heissen, falls es eine solche
Zahl n gibt, dass für alle λ > n die Stelle in u_λ unbesetzt bleibt.

Unter Benutzung dieser Ausdrucksweisen können wir kürzer sagen:

u_λ soll bei wachsendem λ konvergent genannt werden, wenn für
jede Stelle seiner Matrix entschieden oder entscheidbar ist, ob sie de-
finitiv zur besetzten oder definitiv zur Leer-Stelle werde.

Unter dem Grenzwert (limes) von u_λ (für lim. λ = ∞) verstehen