samkeit als eine das zu definirende Objekt wirklich bestimmende darzuthun, desgleichen den Schluss der vollständigen Induktion als einen berechtigten zu beweisen, und dergleichen mehr. Beim unmittelbaren Verfolgen dieser Ziele werden wir darum von alledem nichts voraussetzen dürfen und dessen auch in den besondern Abschnitten unsres Buches, die genannten Zielen gewidmet sind, eingedenk sein.
Dies hindert aber nicht, dass wir einstweilen, in andern von jenen Zielen entlegenen Kapiteln desselben -- wenn man will: etwas vorgrei- fend -- ganz ungenirt vom Zahlbegriffe sowol, als von den genannten induktorischen Definitions- und Schlussarten Gebrauch machen -- in glei- cher Weise, wie es auch in den vorhergehenden Bänden schon öfters ge- legentlich geschah und auch sonst in der ganzen mathematischen und wissenschaftlichen Welt längst üblich ist. Um so mehr werden wir so zuwerke gehn dürfen, als ja die Berechtigung dazu gerade in unserm Buche geeigneten Ortes sich nachgewiesen findet in einer Weise, genügend den strengsten Anforderungen, die vom logischen Standpunkte aus zu stellen.
Freilich dokumentirt sich in solchem Vorgreifen eine gewisse Unvoll- kommenheit unsres Lehrgangs, der das Euklid'sche Ideal eines absolut streng stufenmässigen Aufbaues noch nicht verwirklicht -- wie es klassisch z. B. Herrn Dedekind's Schrift in ihrer Art thut.
Allein die eigentümliche -- ich möchte sagen: harte -- Schönheit solchen streng stufenmässigen Aufbaues wird bekanntlich auch durch ge- wisse Nachteile erkauft die namentlich auf dem didaktischen oder pädago- gischen Felde zutage treten; sie scheint nur auf Kosten der Übersicht des Ganzen und des gebührenden Hervortretens von allgemeineren Gesichts- punkten zu verwirklichen. Ich glaube demnach einen gewissen Mittelweg einhalten zu sollen, und mir einen Leser vorstellen zu dürfen, der einiger- massen eklektisch, mit Auswahl (und gelegentlichem Überschlagen), zu lesen versteht (um auf Einzelnes später wieder zurückzukommen), einen Leser, der es auch über sich vermag, bei Untersuchungen die zu gewissen fundamentalen Erkenntnisszwecken geführt werden, wieder einige Stufen herabzusteigen und von dem vielleicht anderwärts schon gewonnenen Er- kenntnisskapital zeitweilig ein Bestimmtes ungenutzt zu lassen, ja zu ignoriren.
Und so wollen wir denn hier "kurzen Prozess machen", und die Itera- tionen der Funktion f(u) für alle Iterationsexponenten anerkennen als "definirt" durch die "Rekursion" in 2), welche Sinn und Bedeutung von fr + 1(u) festlegt, sobald dieselben für fr(u) feststehn -- nachdem mit 2) auch f1(u), als f(u), oder wenn man will schon f0(u), als u, seine Er- klärung gefunden hat.
Desgleichen wollen wir hier -- worauf an anderm Orte ebenfalls zu- rückzukommen sein wird -- als evidentermaassen aus der Definition folgend die Sätze gelten lassen: 3) fr + 1(u) = fr{f(u)} sowie überhaupt: 4) fm{fn(u)} = fm + n(u) = fn{fm(u)}
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§ 13. Iteration von Funktionen.
samkeit als eine das zu definirende Objekt wirklich bestimmende darzuthun, desgleichen den Schluss der vollständigen Induktion als einen berechtigten zu beweisen, und dergleichen mehr. Beim unmittelbaren Verfolgen dieser Ziele werden wir darum von alledem nichts voraussetzen dürfen und dessen auch in den besondern Abschnitten unsres Buches, die genannten Zielen gewidmet sind, eingedenk sein.
Dies hindert aber nicht, dass wir einstweilen, in andern von jenen Zielen entlegenen Kapiteln desselben — wenn man will: etwas vorgrei- fend — ganz ungenirt vom Zahlbegriffe sowol, als von den genannten induktorischen Definitions- und Schlussarten Gebrauch machen — in glei- cher Weise, wie es auch in den vorhergehenden Bänden schon öfters ge- legentlich geschah und auch sonst in der ganzen mathematischen und wissenschaftlichen Welt längst üblich ist. Um so mehr werden wir so zuwerke gehn dürfen, als ja die Berechtigung dazu gerade in unserm Buche geeigneten Ortes sich nachgewiesen findet in einer Weise, genügend den strengsten Anforderungen, die vom logischen Standpunkte aus zu stellen.
Freilich dokumentirt sich in solchem Vorgreifen eine gewisse Unvoll- kommenheit unsres Lehrgangs, der das Euklid’sche Ideal eines absolut streng stufenmässigen Aufbaues noch nicht verwirklicht — wie es klassisch z. B. Herrn Dedekind’s Schrift in ihrer Art thut.
Allein die eigentümliche — ich möchte sagen: harte — Schönheit solchen streng stufenmässigen Aufbaues wird bekanntlich auch durch ge- wisse Nachteile erkauft die namentlich auf dem didaktischen oder pädago- gischen Felde zutage treten; sie scheint nur auf Kosten der Übersicht des Ganzen und des gebührenden Hervortretens von allgemeineren Gesichts- punkten zu verwirklichen. Ich glaube demnach einen gewissen Mittelweg einhalten zu sollen, und mir einen Leser vorstellen zu dürfen, der einiger- massen eklektisch, mit Auswahl (und gelegentlichem Überschlagen), zu lesen versteht (um auf Einzelnes später wieder zurückzukommen), einen Leser, der es auch über sich vermag, bei Untersuchungen die zu gewissen fundamentalen Erkenntnisszwecken geführt werden, wieder einige Stufen herabzusteigen und von dem vielleicht anderwärts schon gewonnenen Er- kenntnisskapital zeitweilig ein Bestimmtes ungenutzt zu lassen, ja zu ignoriren.
Und so wollen wir denn hier „kurzen Prozess machen“, und die Itera- tionen der Funktion f(u) für alle Iterationsexponenten anerkennen als „definirt“ durch die „Rekursion“ in 2), welche Sinn und Bedeutung von fr + 1(u) festlegt, sobald dieselben für fr(u) feststehn — nachdem mit 2) auch f1(u), als f(u), oder wenn man will schon f0(u), als u, seine Er- klärung gefunden hat.
Desgleichen wollen wir hier — worauf an anderm Orte ebenfalls zu- rückzukommen sein wird — als evidentermaassen aus der Definition folgend die Sätze gelten lassen: 3) fr + 1(u) = fr{f(u)} sowie überhaupt: 4) fm{fn(u)} = fm + n(u) = fn{fm(u)}
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§ 13. Iteration von Funktionen.
samkeit als eine das zu definirende Objekt wirklich bestimmende darzuthun,
desgleichen den Schluss der vollständigen Induktion als einen berechtigten
zu beweisen, und dergleichen mehr. Beim unmittelbaren Verfolgen dieser
Ziele werden wir darum von alledem nichts voraussetzen dürfen und dessen
auch in den besondern Abschnitten unsres Buches, die genannten Zielen
gewidmet sind, eingedenk sein.
Dies hindert aber nicht, dass wir einstweilen, in andern von jenen
Zielen entlegenen Kapiteln desselben — wenn man will: etwas vorgrei-
fend — ganz ungenirt vom Zahlbegriffe sowol, als von den genannten
induktorischen Definitions- und Schlussarten Gebrauch machen — in glei-
cher Weise, wie es auch in den vorhergehenden Bänden schon öfters ge-
legentlich geschah und auch sonst in der ganzen mathematischen und
wissenschaftlichen Welt längst üblich ist. Um so mehr werden wir so
zuwerke gehn dürfen, als ja die Berechtigung dazu gerade in unserm
Buche geeigneten Ortes sich nachgewiesen findet in einer Weise, genügend
den strengsten Anforderungen, die vom logischen Standpunkte aus zu
stellen.
Freilich dokumentirt sich in solchem Vorgreifen eine gewisse Unvoll-
kommenheit unsres Lehrgangs, der das Euklid’sche Ideal eines absolut
streng stufenmässigen Aufbaues noch nicht verwirklicht — wie es klassisch
z. B. Herrn Dedekind’s Schrift in ihrer Art thut.
Allein die eigentümliche — ich möchte sagen: harte — Schönheit
solchen streng stufenmässigen Aufbaues wird bekanntlich auch durch ge-
wisse Nachteile erkauft die namentlich auf dem didaktischen oder pädago-
gischen Felde zutage treten; sie scheint nur auf Kosten der Übersicht des
Ganzen und des gebührenden Hervortretens von allgemeineren Gesichts-
punkten zu verwirklichen. Ich glaube demnach einen gewissen Mittelweg
einhalten zu sollen, und mir einen Leser vorstellen zu dürfen, der einiger-
massen eklektisch, mit Auswahl (und gelegentlichem Überschlagen), zu
lesen versteht (um auf Einzelnes später wieder zurückzukommen), einen
Leser, der es auch über sich vermag, bei Untersuchungen die zu gewissen
fundamentalen Erkenntnisszwecken geführt werden, wieder einige Stufen
herabzusteigen und von dem vielleicht anderwärts schon gewonnenen Er-
kenntnisskapital zeitweilig ein Bestimmtes ungenutzt zu lassen, ja zu
ignoriren.
Und so wollen wir denn hier „kurzen Prozess machen“, und die Itera-
tionen der Funktion f(u) für alle Iterationsexponenten anerkennen als
„definirt“ durch die „Rekursion“ in 2), welche Sinn und Bedeutung von
fr + 1(u) festlegt, sobald dieselben für fr(u) feststehn — nachdem mit 2)
auch f1(u), als f(u), oder wenn man will schon f0(u), als u, seine Er-
klärung gefunden hat.
Desgleichen wollen wir hier — worauf an anderm Orte ebenfalls zu-
rückzukommen sein wird — als evidentermaassen aus der Definition folgend
die Sätze gelten lassen:
3) fr + 1(u) = fr{f(u)}
sowie überhaupt:
4) fm{fn(u)} = fm + n(u) = fn{fm(u)}
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 179. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/193>, abgerufen am 24.11.2024.
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