vorbeugt, und sie müssen einander gegenseitig ausschliessen (unter sich disjunkt sein), sodass auch keines der Elemente als eine Klasse gedeutet werden dürfte, die ein andres von ihnen unter sich begreift.
Ich bemerke dieses, und noch einiges andre mehr, zum voraus, um die Erwartung des Lesers angemessen zu dirigiren, nicht aber aus dem Grunde, weil etwa schon auf diese letzteren Bemerkungen wesentliche Schlüsse zu bauen wären. Auch wer diese Bemerkungen für ganz un- genügend fundirt erachten wollte, der könnte sich doch nicht ablehnend verhalten gegenüber der formalen Denknotwendigkeit, kraft welcher mit den fundamentalen Festsetzungen des nächsten Paragraphen als deren Kon- sequenz auch das ganze Gebäude unsrer Theorie gesichert sein wird.
Die Gesamtheit der gedachten Elemente stellen wir, indem wir deren Namen mittelst Pluszeichen verbinden, als eine "identische Summe" (logical aggregate) dar und nennen sie den ursprünglichen oder Denkbereich der ersten Ordnung: 11 (gelesen Eins hoch eins), sodass uns: 2)
[Formel 1]
gilt.
Der Denkbereich 11 soll mehr als ein Element enthalten. Diese Voraussetzung ist zur Geltung fast aller Sätze der Theorie erforderlich. Den Fall, wo der Denkbereich blos ein Element enthielte, wollen wir "den Ausnahmefall" nennen.
Bei manchen Formeln wird sogar, damit sie Geltung beanspruchen können, es unerlässlich sein vorauszusetzen, dass der Denkbereich mehr als zwei Elemente umfasse. Solche Formeln sollen durch einen ihrer Chiffre beigesetzten Stern * gekennzeichnet werden.
Im übrigen kann die Menge der Elemente, welche unser Denk- bereich zusammenfasst, eine "endliche" (oder begrenzte) sein, indem der Denkbereich besteht aus einer beliebig zu wählenden "Anzahl" von Elementen. Oder aber das System der Elemente ist ein "unendliches" (unbegrenztes), wo dann von ihrer "Anzahl" nicht gesprochen werden kann. Im letzteren Falle mögen die Elemente entweder "diskrete" sein, etwa ein sogenanntes "einfach unendliches" System bildend, oder auch nicht, d. h. sie dürfen ebensogut auch als "konkrete" gedacht werden, welche z. B. ein "Kontinuum" ausfüllen, wie die Punkte einer Linie, einer Fläche, eines Körpers, insbesondre einer Geraden, einer Ebene oder des Raumes.
Auch diese Bemerkungen sind vorgreifende. Ist es doch eine der vor- nehmsten Aufgaben der Theorie selbst, den Begriff der "Endlichkeit" eines Systems von Elementen erst aufzustellen, was eine Vorbedingung für die Gewinnung des so hochwichtigen "Anzahl"-Begriffes bildet, desgleichen sodann, die verschiedenen Arten von "Unendlichkeit" unterscheidend zu
§ 2. Denkbereich der ersten Ordnung.
vorbeugt, und sie müssen einander gegenseitig ausschliessen (unter sich disjunkt sein), sodass auch keines der Elemente als eine Klasse gedeutet werden dürfte, die ein andres von ihnen unter sich begreift.
Ich bemerke dieses, und noch einiges andre mehr, zum voraus, um die Erwartung des Lesers angemessen zu dirigiren, nicht aber aus dem Grunde, weil etwa schon auf diese letzteren Bemerkungen wesentliche Schlüsse zu bauen wären. Auch wer diese Bemerkungen für ganz un- genügend fundirt erachten wollte, der könnte sich doch nicht ablehnend verhalten gegenüber der formalen Denknotwendigkeit, kraft welcher mit den fundamentalen Festsetzungen des nächsten Paragraphen als deren Kon- sequenz auch das ganze Gebäude unsrer Theorie gesichert sein wird.
Die Gesamtheit der gedachten Elemente stellen wir, indem wir deren Namen mittelst Pluszeichen verbinden, als eine „identische Summe“ (logical aggregate) dar und nennen sie den ursprünglichen oder Denkbereich der ersten Ordnung: 11 (gelesen Eins hoch eins), sodass uns: 2)
[Formel 1]
gilt.
Der Denkbereich 11 soll mehr als ein Element enthalten. Diese Voraussetzung ist zur Geltung fast aller Sätze der Theorie erforderlich. Den Fall, wo der Denkbereich blos ein Element enthielte, wollen wir „den Ausnahmefall“ nennen.
Bei manchen Formeln wird sogar, damit sie Geltung beanspruchen können, es unerlässlich sein vorauszusetzen, dass der Denkbereich mehr als zwei Elemente umfasse. Solche Formeln sollen durch einen ihrer Chiffre beigesetzten Stern * gekennzeichnet werden.
Im übrigen kann die Menge der Elemente, welche unser Denk- bereich zusammenfasst, eine „endliche“ (oder begrenzte) sein, indem der Denkbereich besteht aus einer beliebig zu wählenden „Anzahl“ von Elementen. Oder aber das System der Elemente ist ein „unendliches“ (unbegrenztes), wo dann von ihrer „Anzahl“ nicht gesprochen werden kann. Im letzteren Falle mögen die Elemente entweder „diskrete“ sein, etwa ein sogenanntes „einfach unendliches“ System bildend, oder auch nicht, d. h. sie dürfen ebensogut auch als „konkrete“ gedacht werden, welche z. B. ein „Kontinuum“ ausfüllen, wie die Punkte einer Linie, einer Fläche, eines Körpers, insbesondre einer Geraden, einer Ebene oder des Raumes.
Auch diese Bemerkungen sind vorgreifende. Ist es doch eine der vor- nehmsten Aufgaben der Theorie selbst, den Begriff der „Endlichkeit“ eines Systems von Elementen erst aufzustellen, was eine Vorbedingung für die Gewinnung des so hochwichtigen „Anzahl“-Begriffes bildet, desgleichen sodann, die verschiedenen Arten von „Unendlichkeit“ unterscheidend zu
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§ 2. Denkbereich der ersten Ordnung.
vorbeugt, und sie müssen einander gegenseitig ausschliessen (unter
sich disjunkt sein), sodass auch keines der Elemente als eine Klasse
gedeutet werden dürfte, die ein andres von ihnen unter sich begreift.
Ich bemerke dieses, und noch einiges andre mehr, zum voraus, um
die Erwartung des Lesers angemessen zu dirigiren, nicht aber aus dem
Grunde, weil etwa schon auf diese letzteren Bemerkungen wesentliche
Schlüsse zu bauen wären. Auch wer diese Bemerkungen für ganz un-
genügend fundirt erachten wollte, der könnte sich doch nicht ablehnend
verhalten gegenüber der formalen Denknotwendigkeit, kraft welcher mit
den fundamentalen Festsetzungen des nächsten Paragraphen als deren Kon-
sequenz auch das ganze Gebäude unsrer Theorie gesichert sein wird.
Die Gesamtheit der gedachten Elemente stellen wir, indem wir
deren Namen mittelst Pluszeichen verbinden, als eine „identische
Summe“ (logical aggregate) dar und nennen sie den ursprünglichen oder
Denkbereich der ersten Ordnung: 11 (gelesen Eins hoch eins), sodass uns:
2) [FORMEL]
gilt.
Der Denkbereich 11 soll mehr als ein Element enthalten. Diese
Voraussetzung ist zur Geltung fast aller Sätze der Theorie erforderlich.
Den Fall, wo der Denkbereich blos ein Element enthielte, wollen wir
„den Ausnahmefall“ nennen.
Bei manchen Formeln wird sogar, damit sie Geltung beanspruchen
können, es unerlässlich sein vorauszusetzen, dass der Denkbereich mehr
als zwei Elemente umfasse. Solche Formeln sollen durch einen ihrer
Chiffre beigesetzten Stern * gekennzeichnet werden.
Im übrigen kann die Menge der Elemente, welche unser Denk-
bereich zusammenfasst, eine „endliche“ (oder begrenzte) sein, indem
der Denkbereich besteht aus einer beliebig zu wählenden „Anzahl“ von
Elementen. Oder aber das System der Elemente ist ein „unendliches“
(unbegrenztes), wo dann von ihrer „Anzahl“ nicht gesprochen werden
kann. Im letzteren Falle mögen die Elemente entweder „diskrete“
sein, etwa ein sogenanntes „einfach unendliches“ System bildend, oder
auch nicht, d. h. sie dürfen ebensogut auch als „konkrete“ gedacht
werden, welche z. B. ein „Kontinuum“ ausfüllen, wie die Punkte einer
Linie, einer Fläche, eines Körpers, insbesondre einer Geraden, einer
Ebene oder des Raumes.
Auch diese Bemerkungen sind vorgreifende. Ist es doch eine der vor-
nehmsten Aufgaben der Theorie selbst, den Begriff der „Endlichkeit“ eines
Systems von Elementen erst aufzustellen, was eine Vorbedingung für die
Gewinnung des so hochwichtigen „Anzahl“-Begriffes bildet, desgleichen
sodann, die verschiedenen Arten von „Unendlichkeit“ unterscheidend zu
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 5. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/19>, abgerufen am 09.11.2024.
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