Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 12. Unbestimmtheit der Form allgemeiner Lösungen.

Denn wenn ein bestimmter Wert v von u eine bestimmte Wurzel x
mit x = f(u) lieferte, so wird f{φ(u)} ebendiese Wurzel x liefern, sobald
man u so annimmt, dass φ(u) = v ist — was eben nach der über φ ge-
machten Voraussetzung allemal möglich ist; und dass jedes u mit 15) eine
richtige Wurzel liefere versteht sich daraus von selbst, weil jedes w mit
f(w) solches thut. —

So gut wie f(u) selbst stellen also beispielsweise auch
f(bu + b̄ū), f(ū), f(ŭ), f(ū̆), f(cu + c̄ū), f(dŭ + d̄ū̆),
und so weiter richtig die allgemeine Wurzel von 1) dar. —

Genügte etwa f(u) obendrein der Adventivbedingung 4), so wird f(ū),
wenn mit F(u) bezeichnet, derselben aber nicht genügen, vielmehr nicht
F(x) = x sondern sicher nur F(x̄) = x sein — analog blos F(x̆) = x
falls wir F(u) als f(ŭ) deuteten, etc. Dergleichen Überlegungen, wenn
vollends exemplifizirt durch spezielle Funktionen f, verhelfen leicht zu dem
(oben angekündigten) strengen Beweise, dass 4) nicht aus 3) folgen könne,
indem wir darnach imstande sind Funktionen f anzugeben, die die For-
derung 3) ohne 4) erfüllen. —

Schon aus dem ersten der obigen Beispiele, nämlich mit dem Aus-
drucke f(bu + b̄ū), erhält man bei unbegrenztem Denkbereiche mittelst
Variirens von b unendlich viele Funktionen f(u) als richtige, dem Be-
griffe 3) entsprechende allgemeine Wurzeln von 1).

Hiemit ist nachgewiesen, dass es im Allgemeinen unbegrenzt viele
Funktionen f(u) gibt, welche gemäss 3) die allgemeine Wurzel x
von 1) darstellen können.

Dieser Unbestimmtheit des Begriffes der allgemeinen Lösung von 1)
wird durch die Adventivforderung 4) schon einigermassen gesteuert
— durch welche in der That die oben als Beispiele angeführten Lösungen,
im Allgemeinen wenigstens, sämtlich ausgeschlossen werden. Jene bleiben
zwar richtige, sind aber unpraktische wonicht fast unbrauchbare Formen
einer allgemeinen Lösung, und demgemäss zu verwerfen.

Dass auch diese Forderung 4), wenn der im Begriffe liegenden 3)
adjungirt, noch nicht hinreicht um eine Funktion f(u) als die allge-
meine Wurzel von 1) vollkommen zu bestimmen, dass es vielmehr
noch viele die Bedingungen 3) und 4) zugleich erfüllende und doch
wesentlich verschiedene Funktionen f(u) geben kann, dies wird sich
in der Theorie an speziellen Auflösungsproblemen zur Genüge offen-
baren. —

Für die Anwendungen der Formel 12) behufs Aufstellung der
rigorosen Lösungen zu speziellen Problemen ist es nützlich einfür-
allemal zu beachten, dass deren Ausdruck sich ungemein vereinfacht
in den Fällen wo etwa a = 0 oder a = 1 eine Wurzel der aufzu-
lösenden Gleichung F(x) = 0 sein sollte.