Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 12. Rigorose Lösungen.

Jene Lösung ist demnach — nachdem a unter den bekannten
Wurzeln oder partikularen Lösungen von 1) einmal ausgewählt ist —
auch der Form nach eine vollkommen bestimmte. Nur von der Wahl
des a bleibt ihr Ausdruck abhängig.

Wir nennen sie aus bald zutage tretenden Gründen die (zur
Wurzel a gehörige) „rigorose Lösung“ der Gleichung F(x) = 0.

Die „rigorose“ ist eine von den Formen der „allgemeinen“ Lösung.

Durch den mit ihrer Aufstellung geleisteten Nachweis ihrer Existenz
haben wir jetzt auch die noch ausständig gewesene Begründung dessen
geliefert, was wir unter „erstens“ und „drittens“ behauptet haben —
wenigstens soweit prätendirt worden: dass es „theoretisch“ möglich sei,
die allgemeine Wurzel x von 1) stets in der Form 2) darzustellen in
welcher u arbiträr ist und f auch die Adventivforderung 4) erfüllt.

Aber noch mehr als das. Nicht nur theoretisch dürfen wir von
der Existenz einer allgemeinen Lösung solchen Charakters überzeugt
sein, sondern wir vermögen auch praktisch — als eine „rigorose“
Lösung wenigstens — sie immer aufzustellen. Das Problem der voll-
ständigen Auflösung einer auflösbaren Gleichung 1) nach einer Un-
bekannten ist nämlich durch das bisherige zurückgeführt auf die Ent-
deckung einer einzigen Partikularlösung, oder ganz speziellen Wurzel a,
ebendieser Gleichung.

Und eine solche wird sich immer entdecken lassen — so nament-
lich bei allen Problemen mit denen sich unsre Theorie zu beschäftigen
hat. Den Nachweis für diese auf das „Praktische“ bezügliche Behaup-
tung allgemein zu erbringen, darauf muss ich freilich hier verzichten.
Doch mögen wenigstens einige Fingerzeige darüber im Kontext folgen.

Nicht selten genügt es schon, die vier Moduln als problematische
Lösungen oder fragliche Wurzeln für x probeweise in F(x) einzusetzen,
um einen oder mehrere derselben als wirkliche Lösung, Wurzel zu erkennen.
Wenn es sich z. B. um die Auflösung nach x der Gleichung x ; x = x han-
delte, so verfügten wir augenblicklich über 0, 1 und 1' als von vornherein
bekannte Partikularlösungen.

Ebenso ist 1' a priori bekannt als Wurzel derjenigen Gleichung, welche
ein Relativ x als eine gegenseitig eindeutige Abbildung zu definiren haben wird.

In andern Fällen bieten sich vorkommende Parameterwerte oder ge-
wisse einfach gestaltete Funktionsausdrücke aus solchen gebildet leicht als
Partikularlösungen dar. So, wenn wir die Gleichung a ; x = x ; a aufzulösen
hätten, verfügten wir sofort ausser 0 und 1' auch über die Partikular-
lösung x = a.

Die zumeist, vorgängig der Auflösung nach x, von den übrigen Un-
bekannten allgemein zu erfüllende Resultante (der Elimination des x) ver-
schafft diesen Bemerkungen eine noch grössere Tragweite.