Insbesondre für die Annahme u = a decken sich beide Ergebnisse.
Nimmt man das Relativ u aufs Gerathewohl an, so ist es ent- weder keine Wurzel der Gleichung 1) oder es ist eine solche: u = x. In beiden Fällen -- haben wir soeben gesehen -- liefert f(u) eine Wurzel, und zwar im erstern immer die schon bekannte, laut Voraus- setzung existirende Wurzel a, im letztern aber die glücklich erratene Wurzel x. Jedenfalls also liefert der obige Ausdruck f(u) blos Wur- zeln der Gleichung F(x) = 0, und er liefert alle Wurzeln dieser Gleichung, weil er irgend eine gewünschte x von diesen Wurzeln schon bei der Annahme u = x reproduzirt.
Unser f(u) genügt mithin nicht nur den Anforderungen, die im Begriff der allgemeinen Wurzel von 1) liegen, sondern obendrein auch noch der ersten Adventivforderung 4) -- vergl. S. 171.
Drücken wir -- behufs Erleichterung des Druckes -- die Negation von F(u), bequemer wie durch F(u), durch Fn(u) aus, so haben wir nach alledem das Theorem: 12)
[Formel 1]
-- welchem noch, als einem für jedes a gültigen, das Symbol
[Formel 2]
voran- gestellt werden dürfte.
Zur Erläuterung diene: Ist a keine Wurzel, mithin {F(a) = 0} = 0, so ist 12) als eine Aussagensubsumtion von der Form 0 R selbstver- ständlich gültig, wennschon nichtssagend. Die Voraussetzung, dass die Gleichung F(x) = 0 auflösbar sei, kann aber in der Form ausgedrückt werden:
[Formel 3]
und garantirt uns, dass es gewisse a gebe, für welche die Prämisse unsres Theorems {F(a) = 0} erfüllt, = 1 ist. Für jedes solche a muss dann auch wegen (1 R) = (R = 1) = R die rechte Seite R des Theorems 12) Geltung haben, und diese drückt gemäss dem Schema 3) regelrecht aus, dass der oben für f(u) angegebene Ausdruck 11) die allgemeine Wurzel sei, was ja vorhin nachgewiesen worden.
Anmerkungsweise sei noch gesagt, dass die mit 11) gefundene und in 12) angegebene allgemeine Lösung x = f(u) nach den Prinzipien des Dualismus (aus Kontraposition) sich selbst entspricht.
Der dual entsprechend gebildete Ausdruck zu unserm x = f(u) aus 11) wäre nämlich: x = (a + 0 j Fn j 0)(u + 1 ; F ; 1), was durch Ausmultipliziren auf x = au + f(u) hinausläuft, und wo nun, weil f(u) entweder = a oder = u ist, der Term au allemal absorbirt wird, sich also nur x = f(u) wiedererzeugt.
Fünfte Vorlesung.
Insbesondre für die Annahme u = a decken sich beide Ergebnisse.
Nimmt man das Relativ u aufs Gerathewohl an, so ist es ent- weder keine Wurzel der Gleichung 1) oder es ist eine solche: u = x. In beiden Fällen — haben wir soeben gesehen — liefert f(u) eine Wurzel, und zwar im erstern immer die schon bekannte, laut Voraus- setzung existirende Wurzel a, im letztern aber die glücklich erratene Wurzel x. Jedenfalls also liefert der obige Ausdruck f(u) blos Wur- zeln der Gleichung F(x) = 0, und er liefert alle Wurzeln dieser Gleichung, weil er irgend eine gewünschte x von diesen Wurzeln schon bei der Annahme u = x reproduzirt.
Unser f(u) genügt mithin nicht nur den Anforderungen, die im Begriff der allgemeinen Wurzel von 1) liegen, sondern obendrein auch noch der ersten Adventivforderung 4) — vergl. S. 171.
Drücken wir — behufs Erleichterung des Druckes — die Negation von F(u), bequemer wie durch F̅(u)̅, durch F̄(u) aus, so haben wir nach alledem das Theorem: 12)
[Formel 1]
— welchem noch, als einem für jedes a gültigen, das Symbol
[Formel 2]
voran- gestellt werden dürfte.
Zur Erläuterung diene: Ist a keine Wurzel, mithin {F(a) = 0} = 0, so ist 12) als eine Aussagensubsumtion von der Form 0 ⋹ R selbstver- ständlich gültig, wennschon nichtssagend. Die Voraussetzung, dass die Gleichung F(x) = 0 auflösbar sei, kann aber in der Form ausgedrückt werden:
[Formel 3]
und garantirt uns, dass es gewisse a gebe, für welche die Prämisse unsres Theorems {F(a) = 0} erfüllt, = 1 ist. Für jedes solche a muss dann auch wegen (1 ⋹ R) = (R = 1) = R die rechte Seite R des Theorems 12) Geltung haben, und diese drückt gemäss dem Schema 3) regelrecht aus, dass der oben für f(u) angegebene Ausdruck 11) die allgemeine Wurzel sei, was ja vorhin nachgewiesen worden.
Anmerkungsweise sei noch gesagt, dass die mit 11) gefundene und in 12) angegebene allgemeine Lösung x = f(u) nach den Prinzipien des Dualismus (aus Kontraposition) sich selbst entspricht.
Der dual entsprechend gebildete Ausdruck zu unserm x = f(u) aus 11) wäre nämlich: x = (a + 0 ɟ F̄ ɟ 0)(u + 1 ; F ; 1), was durch Ausmultipliziren auf x = au + f(u) hinausläuft, und wo nun, weil f(u) entweder = a oder = u ist, der Term au allemal absorbirt wird, sich also nur x = f(u) wiedererzeugt.
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><pbfacs="#f0180"n="166"/><fwplace="top"type="header">Fünfte Vorlesung.</fw><lb/><p>Insbesondre für die Annahme <hirendition="#i">u</hi> = <hirendition="#i">a</hi> decken sich beide Ergebnisse.</p><lb/><p>Nimmt man das Relativ <hirendition="#i">u</hi> aufs Gerathewohl an, so ist es ent-<lb/>
weder keine Wurzel der Gleichung 1) oder es ist eine solche: <hirendition="#i">u</hi> = <hirendition="#i">x</hi>.<lb/>
In beiden Fällen — haben wir soeben gesehen — liefert <hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) eine<lb/>
Wurzel, und zwar im erstern immer die schon bekannte, laut Voraus-<lb/>
setzung existirende Wurzel <hirendition="#i">a</hi>, im letztern aber die glücklich erratene<lb/>
Wurzel <hirendition="#i">x</hi>. <hirendition="#i">Jedenfalls</hi> also liefert der obige Ausdruck <hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) <hirendition="#i">blos</hi> Wur-<lb/>
zeln der Gleichung <hirendition="#i">F</hi>(<hirendition="#i">x</hi>) = 0, und er liefert <hirendition="#i">alle</hi> Wurzeln dieser<lb/>
Gleichung, weil er irgend eine gewünschte <hirendition="#i">x</hi> von diesen Wurzeln schon<lb/>
bei der Annahme <hirendition="#i">u</hi> = <hirendition="#i">x</hi> reproduzirt.</p><lb/><p>Unser <hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) genügt mithin nicht nur den Anforderungen, die im<lb/>
Begriff der allgemeinen Wurzel von 1) liegen, sondern obendrein auch<lb/>
noch der ersten Adventivforderung 4) — vergl. S. 171.</p><lb/><p>Drücken wir — behufs Erleichterung des Druckes — die Negation<lb/>
von <hirendition="#i">F</hi>(<hirendition="#i">u</hi>), bequemer wie durch <hirendition="#i">F</hi>̅(<hirendition="#i">u</hi>)̅, durch <hirendition="#i">F̄</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) aus, so haben wir<lb/>
nach alledem das <hirendition="#g">Theorem</hi>:<lb/>
12) <hirendition="#et"><formula/></hi><lb/>— welchem noch, als einem für jedes <hirendition="#i">a</hi> gültigen, das Symbol <formula/> voran-<lb/>
gestellt werden dürfte.</p><lb/><p>Zur Erläuterung diene: Ist <hirendition="#i">a</hi> keine Wurzel, mithin {<hirendition="#i">F</hi>(<hirendition="#i">a</hi>) = 0} = 0,<lb/>
so ist 12) als eine Aussagensubsumtion von der Form 0 ⋹<hirendition="#i">R</hi> selbstver-<lb/>
ständlich gültig, wennschon nichtssagend. Die Voraussetzung, dass die<lb/>
Gleichung <hirendition="#i">F</hi>(<hirendition="#i">x</hi>) = 0 auflösbar sei, kann aber in der Form ausgedrückt werden:<lb/><hirendition="#c"><formula/></hi> und garantirt uns, dass es gewisse <hirendition="#i">a</hi> gebe, für welche die Prämisse unsres<lb/>
Theorems {<hirendition="#i">F</hi>(<hirendition="#i">a</hi>) = 0} erfüllt, = 1 ist. Für jedes solche <hirendition="#i">a</hi> muss dann<lb/>
auch wegen (1 ⋹<hirendition="#i">R</hi>) = (<hirendition="#i">R</hi> = 1) = <hirendition="#i">R</hi> die rechte Seite <hirendition="#i">R</hi> des Theorems 12)<lb/>
Geltung haben, und diese drückt gemäss dem Schema 3) regelrecht aus,<lb/>
dass der oben für <hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) angegebene Ausdruck 11) die allgemeine Wurzel<lb/>
sei, was ja vorhin nachgewiesen worden.</p><lb/><p>Anmerkungsweise sei noch gesagt, dass die mit 11) gefundene und<lb/>
in 12) angegebene allgemeine Lösung <hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) nach den Prinzipien<lb/>
des Dualismus (aus Kontraposition) <hirendition="#i">sich selbst entspricht</hi>.</p><lb/><p>Der dual entsprechend gebildete Ausdruck zu unserm <hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) aus 11)<lb/>
wäre nämlich:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">x</hi> = (<hirendition="#i">a</hi> + 0 ɟ<hirendition="#i">F̄</hi>ɟ 0)(<hirendition="#i">u</hi> + 1 ; <hirendition="#i">F</hi> ; 1),</hi><lb/>
was durch Ausmultipliziren auf <hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">au</hi> + <hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) hinausläuft, und wo nun,<lb/>
weil <hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) entweder = <hirendition="#i">a</hi> oder = <hirendition="#i">u</hi> ist, der Term <hirendition="#i">au</hi> allemal absorbirt wird,<lb/>
sich also nur <hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">f</hi>(<hirendition="#i">u</hi>) wiedererzeugt.</p><lb/></div></div></body></text></TEI>
[166/0180]
Fünfte Vorlesung.
Insbesondre für die Annahme u = a decken sich beide Ergebnisse.
Nimmt man das Relativ u aufs Gerathewohl an, so ist es ent-
weder keine Wurzel der Gleichung 1) oder es ist eine solche: u = x.
In beiden Fällen — haben wir soeben gesehen — liefert f(u) eine
Wurzel, und zwar im erstern immer die schon bekannte, laut Voraus-
setzung existirende Wurzel a, im letztern aber die glücklich erratene
Wurzel x. Jedenfalls also liefert der obige Ausdruck f(u) blos Wur-
zeln der Gleichung F(x) = 0, und er liefert alle Wurzeln dieser
Gleichung, weil er irgend eine gewünschte x von diesen Wurzeln schon
bei der Annahme u = x reproduzirt.
Unser f(u) genügt mithin nicht nur den Anforderungen, die im
Begriff der allgemeinen Wurzel von 1) liegen, sondern obendrein auch
noch der ersten Adventivforderung 4) — vergl. S. 171.
Drücken wir — behufs Erleichterung des Druckes — die Negation
von F(u), bequemer wie durch F̅(u)̅, durch F̄(u) aus, so haben wir
nach alledem das Theorem:
12) [FORMEL]
— welchem noch, als einem für jedes a gültigen, das Symbol [FORMEL] voran-
gestellt werden dürfte.
Zur Erläuterung diene: Ist a keine Wurzel, mithin {F(a) = 0} = 0,
so ist 12) als eine Aussagensubsumtion von der Form 0 ⋹ R selbstver-
ständlich gültig, wennschon nichtssagend. Die Voraussetzung, dass die
Gleichung F(x) = 0 auflösbar sei, kann aber in der Form ausgedrückt werden:
[FORMEL] und garantirt uns, dass es gewisse a gebe, für welche die Prämisse unsres
Theorems {F(a) = 0} erfüllt, = 1 ist. Für jedes solche a muss dann
auch wegen (1 ⋹ R) = (R = 1) = R die rechte Seite R des Theorems 12)
Geltung haben, und diese drückt gemäss dem Schema 3) regelrecht aus,
dass der oben für f(u) angegebene Ausdruck 11) die allgemeine Wurzel
sei, was ja vorhin nachgewiesen worden.
Anmerkungsweise sei noch gesagt, dass die mit 11) gefundene und
in 12) angegebene allgemeine Lösung x = f(u) nach den Prinzipien
des Dualismus (aus Kontraposition) sich selbst entspricht.
Der dual entsprechend gebildete Ausdruck zu unserm x = f(u) aus 11)
wäre nämlich:
x = (a + 0 ɟ F̄ ɟ 0)(u + 1 ; F ; 1),
was durch Ausmultipliziren auf x = au + f(u) hinausläuft, und wo nun,
weil f(u) entweder = a oder = u ist, der Term au allemal absorbirt wird,
sich also nur x = f(u) wiedererzeugt.
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 166. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/180>, abgerufen am 01.09.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.