Im "Ausnahmefall" endlich, wo der Denkbereich auf ein einziges Ele- ment zusammenschrumpfte, hätten wir ohnehin keine Möglichkeit, relative Moduln von den absoluten zu unterscheiden; hier wäre überhaupt: 1' = 1, 0' = 0 also auch: 0' ; 0' = 0 und 1' j 1' = 1 -- gerade umgekehrt wie in 19).
Bei völlig leerem Denkbereiche hätten wir auch noch 1 = 0 und wäre "alles egal"; buchstäblich gälte: "es ist alles nichts".
Dass sobald der Denkbereich mehr als ein Element umfasst, die vier Moduln von einander verschieden sein müssen, erhellt bereits aus dem Anblick ihrer Matrizes. Dasselbe kann natürlich auch leicht ganz strenge -- formal aus den Festsetzungen -- bewiesen werden. Denn aus dem Korollar zu Festsetzung (14) folgt durch Kontraposition: (ab) = Si j(ai jbi j), wonach es behufs Nachweises der Ungleichheit zweier Relative erforder- lich und hinreichend ist, ihre Nichtübereinstimmung an einer einzigen Matrixstelle darzuthun, d. h. für ein einziges Suffix ij zu zeigen, dass der Koeffizient des einen Relativs gleich 1 während der des andern gleich 0 ist. Dies aber gelingt sofort für irgend zweie von den vier Moduln unter der angegebnen Voraussetzung.
Kraft des Abacus können wir nun sagen, dass in dem "(hin- reichend) reduzirten" Ausdrucke eines Relativs Moduln nicht mehr mit- einander verknüpft vorkommen können.
Käme z. B. irgendwo der Ausdruck a ; 1 ; 0' vor, so müsste derselbe sofort zu a ; (1 ; 0') = a ; 1 reduzirt werden.
Moduln können zwar immer noch äusserlich als successive Terme in Ausdrücken auftreten -- aber nur, wenn sie durch eine Klammer getrennt oder getrennt zu denken sind.
So würde sich a ; 0' j 0 nicht reduziren lassen, weil es = (a ; 0') j 0 nach unsern Konventionen über Klammern bedeutet.
Dagegen dürfte a ; (1 j 0') nicht vorkommen, sondern müsste zu a ; 1 reduzirt sein. Ebenso a ; (0' j 0) zu a ; 0, das ist vollends zu 0. Etc.
Nach dem längst bekannten Theoreme 6) lässt sich im identischen Kalkul jede Subsumtion ab nach Belieben bringen auf den absoluten Modul 1 als Subjekt, oder auf den 0 als Prädikat. Peirce9 p. 194 hat sich nun die Frage vorgelegt, ob Ähnliches auch bezüglich der rela- tiven Moduln 1' resp. 0' zutrifft, und erkannt, dass dieselbe merkwür- diger Weise zu bejahen ist. Mit der Angabe und dem Beweise der hierauf bezüglichen Sätze wollen wir den gegenwärtigen Paragraph zum Ende führen.
§ 8. Verschiedenheit der Moduln.
Im „Ausnahmefall“ endlich, wo der Denkbereich auf ein einziges Ele- ment zusammenschrumpfte, hätten wir ohnehin keine Möglichkeit, relative Moduln von den absoluten zu unterscheiden; hier wäre überhaupt: 1' = 1, 0' = 0 also auch: 0' ; 0' = 0 und 1' ɟ 1' = 1 — gerade umgekehrt wie in 19).
Bei völlig leerem Denkbereiche hätten wir auch noch 1 = 0 und wäre „alles egal“; buchstäblich gälte: „es ist alles nichts“.
Dass sobald der Denkbereich mehr als ein Element umfasst, die vier Moduln von einander verschieden sein müssen, erhellt bereits aus dem Anblick ihrer Matrizes. Dasselbe kann natürlich auch leicht ganz strenge — formal aus den Festsetzungen — bewiesen werden. Denn aus dem Korollar zu Festsetzung (14) folgt durch Kontraposition: (a ≠ b) = Σi j(ai j ≠ bi j), wonach es behufs Nachweises der Ungleichheit zweier Relative erforder- lich und hinreichend ist, ihre Nichtübereinstimmung an einer einzigen Matrixstelle darzuthun, d. h. für ein einziges Suffix ij zu zeigen, dass der Koeffizient des einen Relativs gleich 1 während der des andern gleich 0 ist. Dies aber gelingt sofort für irgend zweie von den vier Moduln unter der angegebnen Voraussetzung.
Kraft des Abacus können wir nun sagen, dass in dem „(hin- reichend) reduzirten“ Ausdrucke eines Relativs Moduln nicht mehr mit- einander verknüpft vorkommen können.
Käme z. B. irgendwo der Ausdruck a ; 1 ; 0' vor, so müsste derselbe sofort zu a ; (1 ; 0') = a ; 1 reduzirt werden.
Moduln können zwar immer noch äusserlich als successive Terme in Ausdrücken auftreten — aber nur, wenn sie durch eine Klammer getrennt oder getrennt zu denken sind.
So würde sich a ; 0' ɟ 0 nicht reduziren lassen, weil es = (a ; 0') ɟ 0 nach unsern Konventionen über Klammern bedeutet.
Dagegen dürfte a ; (1 ɟ 0') nicht vorkommen, sondern müsste zu a ; 1 reduzirt sein. Ebenso a ; (0' ɟ 0) zu a ; 0, das ist vollends zu 0. Etc.
Nach dem längst bekannten Theoreme 6) lässt sich im identischen Kalkul jede Subsumtion a ⋹ b nach Belieben bringen auf den absoluten Modul 1 als Subjekt, oder auf den 0 als Prädikat. Peirce9 p. 194 hat sich nun die Frage vorgelegt, ob Ähnliches auch bezüglich der rela- tiven Moduln 1' resp. 0' zutrifft, und erkannt, dass dieselbe merkwür- diger Weise zu bejahen ist. Mit der Angabe und dem Beweise der hierauf bezüglichen Sätze wollen wir den gegenwärtigen Paragraph zum Ende führen.
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§ 8. Verschiedenheit der Moduln.
Im „Ausnahmefall“ endlich, wo der Denkbereich auf ein einziges Ele-
ment zusammenschrumpfte, hätten wir ohnehin keine Möglichkeit, relative
Moduln von den absoluten zu unterscheiden; hier wäre überhaupt:
1' = 1, 0' = 0
also auch: 0' ; 0' = 0 und 1' ɟ 1' = 1 — gerade umgekehrt wie in 19).
Bei völlig leerem Denkbereiche hätten wir auch noch 1 = 0 und wäre
„alles egal“; buchstäblich gälte: „es ist alles nichts“.
Dass sobald der Denkbereich mehr als ein Element umfasst, die
vier Moduln von einander verschieden sein müssen, erhellt bereits aus
dem Anblick ihrer Matrizes. Dasselbe kann natürlich auch leicht ganz
strenge — formal aus den Festsetzungen — bewiesen werden. Denn
aus dem Korollar zu Festsetzung (14) folgt durch Kontraposition:
(a ≠ b) = Σi j(ai j ≠ bi j),
wonach es behufs Nachweises der Ungleichheit zweier Relative erforder-
lich und hinreichend ist, ihre Nichtübereinstimmung an einer einzigen
Matrixstelle darzuthun, d. h. für ein einziges Suffix ij zu zeigen, dass
der Koeffizient des einen Relativs gleich 1 während der des andern
gleich 0 ist. Dies aber gelingt sofort für irgend zweie von den vier
Moduln unter der angegebnen Voraussetzung.
Kraft des Abacus können wir nun sagen, dass in dem „(hin-
reichend) reduzirten“ Ausdrucke eines Relativs Moduln nicht mehr mit-
einander verknüpft vorkommen können.
Käme z. B. irgendwo der Ausdruck a ; 1 ; 0' vor, so müsste derselbe
sofort zu a ; (1 ; 0') = a ; 1 reduzirt werden.
Moduln können zwar immer noch äusserlich als successive Terme in
Ausdrücken auftreten — aber nur, wenn sie durch eine Klammer getrennt
oder getrennt zu denken sind.
So würde sich a ; 0' ɟ 0 nicht reduziren lassen, weil es = (a ; 0') ɟ 0
nach unsern Konventionen über Klammern bedeutet.
Dagegen dürfte a ; (1 ɟ 0') nicht vorkommen, sondern müsste zu a ; 1
reduzirt sein. Ebenso a ; (0' ɟ 0) zu a ; 0, das ist vollends zu 0. Etc.
Nach dem längst bekannten Theoreme 6) lässt sich im identischen
Kalkul jede Subsumtion a ⋹ b nach Belieben bringen auf den absoluten
Modul 1 als Subjekt, oder auf den 0 als Prädikat. Peirce9 p. 194 hat
sich nun die Frage vorgelegt, ob Ähnliches auch bezüglich der rela-
tiven Moduln 1' resp. 0' zutrifft, und erkannt, dass dieselbe merkwür-
diger Weise zu bejahen ist. Mit der Angabe und dem Beweise der
hierauf bezüglichen Sätze wollen wir den gegenwärtigen Paragraph
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 125. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/139>, abgerufen am 25.11.2024.
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