Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Dritte Vorlesung.

laufen, so stellt das erste der drei vorstehenden „Doppel“-Produkte vor:
das Ergebniss einer multiplikativen Verknüpfung, bei welcher zuerst die
Elemente einer jeden Zeile unsrer Matrix (bis zum m^ten einschliesslich) zu
einem Teilprodukte vereinigt, hernach diese Produkte aus den n ersten
Zeilen miteinander multiplizirt werden, wogegen das zweite Doppelprodukt
bedeutet: das Knüpfungsergebniss, wenn zuerst die Elemente einer jeden
Kolonne (bis inclusive zum n^ten) zu einem Teilprodukte vereinigt, sodann
diese Produkte aus den m ersten Kolonnen miteinander multiplizirt werden.
Das erste Doppelprodukt also fordert „zeilenweises“, das zweite „kolonnen-
weises“ Multipliziren.

Dass dies so und nicht umgekehrt der Fall ist, liegt daran, dass die
Π oder Σ-zeichen jeweils in der entgegengesetzten Ordnung „evaluirt“, aus-
gewertet (in die ausführliche Schreibung umgedeutet) werden müssen, als
die ist, in der sie dem von links nach rechts lesenden Auge sich dar-
bieten. Das zweite oder innere Zeichen muss allemal zuerst interpretirt
werden; denn der mit ihm gebildete Ausdruck bildet den allgemeinen Term
zu dem vorhergehenden, ersten oder äusseren Zeichen, und (nach dem
Grundsatze: Die Nürnberger hängen keinen, sie hätten ihn denn zuvor)
muss man diesen Term erst haben, bevor man ihn produktiren oder sum-
miren kann.

So ist in der That:
[Formel 1] Etc. Die Umstellung der beiden Π-zeichen bewirkt also weiter nichts als
eine Vertauschung von Zeilen und Kolonnen (Horizontal- und Vertikal-
reihen) in unsrer Matrix.

In dem dritten Produkte 1), welches wegen der unter das Π geschrie-
benen beiden laufenden Buchstaben h, k erst recht ein Doppelprodukt zu
nennen ist (obwol man nur ein Π-zeichen in ihm erblickt) darf man
diesen Buchstaben die ihnen bezüglich zukommenden Werte in beliebiger
Zusammenstellung und Reihenfolge beigelegt denken, so jedoch, dass aus-
schliesslich jeder von den vorgeschriebenen Werten des h mit jedem von
den gegebenen Werten des k (mindestens) einmal kombinirt wird (Wieder-
holungen sind als überflüssig im allgemeinen zu vermeiden, schaden jedoch
der Tautologiegesetze halber — im identischen Kalkul wenigstens — nichts);
es hat also — kann man sagen — das Indizespaar h, k ein bestimmtes
System von Wertepaaren zu durchlaufen.

Von den Summen gilt mutatis mutandis dasselbe, was wir soeben bei
den Produkten zur Sprache brachten.

Was nun aber die Verbindung von Summen- mit Produktenzeichen
betrifft, so ist höchst bemerkenswert, dass hier nur die beiden im Grunde
auf einen hinauslaufenden Sätze gelten:
2) [Formel 2]
— vergl. ο) des § 3 — deren zweiter aus dem ersten hervorgeht,
indem man die Namen der beiden Variabeln h und k mit einander