Gesichtspunkte nochmals zurückzukommen, nach denen hiebei mit den Zeichen S, P zu operiren ist, obwol sich das meiste schon im § 3, aus Bd. 2 rekapitulirt und durch weitre Hülfssätze ergänzt, findet.
Hierbei wollen wir (was nicht unumgänglich und vergl. S. 38 streng genommen zu vermeiden wäre) -- aus didaktischen Gründen -- auch auf die gewöhnliche Schreibung des P und S als eines "expli- ziten" vieltermigen Produkts oder Aggregates (ohne P und S-zeichen), vorwiegend Rücksicht nehmen.
Nennen wir ah k gedachten allgemeinen Term! Lässt man in ihm die laufenden Zeiger (Summations- oder Produktationsvariablen) h und k je eine aparte Reihe, eventuell Sequenz, von Werten durchlaufen und schreibt die Werte des gedachten Terms geordnet hin, so erhält man ein jetzt nicht notwendig quadratisches, vielmehr mit Sicherheit nur rechteckiges Schema, eine Matrix, und zwar: a11, a12, a13, a14, ... a21, a22, a23, a24, ... a31, a32, a33, a34, ... . . . . . . . . falls wir etwa hier jene Wertreihen durch Ziffern repräsentiren.
Dass nun hierbei sowohl Summenzeichen unter sich als auch Pro- duktzeichen unter sich beliebig umgestellt werden dürfen, und dass ihrer mehrere in ein einziges derselben Art zusammengezogen, resp. aus letzterem (wieder) abgesondert werden mögen, dies sprechen für den einfachsten Fall (den wo nur zwei Zeichen in Betracht kommen) die Schemata aus: 1)
[Tabelle]
.
Das ist aber in der That durch den kommutativen und assozia- tiven Charakter der identischen Multiplikation resp. Addition garantirt.
Für die selbständig definirten Aussagen P und S folgt es ohne weitres nach dem "dictum de omni, et" -- möchten wir hinzufügen -- "de aliquo" oder "ullo".
Was von jedem Paare h, k gilt, das gilt bei jedem h für jedes k und gilt auch bei jedem k für jedes h -- und umgekehrt. Desgleichen:
Was für ein gewisses Paar h, k gilt, das gilt auch bei einem ge- wissen h für ein gewisses k, und bei einem gewissen k für ein ge- wissen h, sowie umgekehrt. [Nämlich: was bei einem gewissen h für gewisses k gilt, das gilt auch für ein gewisses Paar h, k. Etc.]
Lassen wir z. B. h die Werte von 1 bis n, k die von 1 bis m durch-
§ 7. Zu den Hülfsschemata des Aussagenkalkuls.
Gesichtspunkte nochmals zurückzukommen, nach denen hiebei mit den Zeichen Σ, Π zu operiren ist, obwol sich das meiste schon im § 3, aus Bd. 2 rekapitulirt und durch weitre Hülfssätze ergänzt, findet.
Hierbei wollen wir (was nicht unumgänglich und vergl. S. 38 streng genommen zu vermeiden wäre) — aus didaktischen Gründen — auch auf die gewöhnliche Schreibung des Π und Σ als eines „expli- ziten“ vieltermigen Produkts oder Aggregates (ohne Π und Σ-zeichen), vorwiegend Rücksicht nehmen.
Nennen wir ah k gedachten allgemeinen Term! Lässt man in ihm die laufenden Zeiger (Summations- oder Produktationsvariablen) h und k je eine aparte Reihe, eventuell Sequenz, von Werten durchlaufen und schreibt die Werte des gedachten Terms geordnet hin, so erhält man ein jetzt nicht notwendig quadratisches, vielmehr mit Sicherheit nur rechteckiges Schema, eine Matrix, und zwar: a11, a12, a13, a14, … a21, a22, a23, a24, … a31, a32, a33, a34, … . . . . . . . . falls wir etwa hier jene Wertreihen durch Ziffern repräsentiren.
Dass nun hierbei sowohl Summenzeichen unter sich als auch Pro- duktzeichen unter sich beliebig umgestellt werden dürfen, und dass ihrer mehrere in ein einziges derselben Art zusammengezogen, resp. aus letzterem (wieder) abgesondert werden mögen, dies sprechen für den einfachsten Fall (den wo nur zwei Zeichen in Betracht kommen) die Schemata aus: 1)
[Tabelle]
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Das ist aber in der That durch den kommutativen und assozia- tiven Charakter der identischen Multiplikation resp. Addition garantirt.
Für die selbständig definirten Aussagen Π und Σ folgt es ohne weitres nach dem „dictum de omni, et“ — möchten wir hinzufügen — „de aliquo“ oder „ullo“.
Was von jedem Paare h, k gilt, das gilt bei jedem h für jedes k und gilt auch bei jedem k für jedes h — und umgekehrt. Desgleichen:
Was für ein gewisses Paar h, k gilt, das gilt auch bei einem ge- wissen h für ein gewisses k, und bei einem gewissen k für ein ge- wissen h, sowie umgekehrt. [Nämlich: was bei einem gewissen h für gewisses k gilt, das gilt auch für ein gewisses Paar h, k. Etc.]
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§ 7. Zu den Hülfsschemata des Aussagenkalkuls.
Gesichtspunkte nochmals zurückzukommen, nach denen hiebei mit den
Zeichen Σ, Π zu operiren ist, obwol sich das meiste schon im § 3,
aus Bd. 2 rekapitulirt und durch weitre Hülfssätze ergänzt, findet.
Hierbei wollen wir (was nicht unumgänglich und vergl. S. 38
streng genommen zu vermeiden wäre) — aus didaktischen Gründen —
auch auf die gewöhnliche Schreibung des Π und Σ als eines „expli-
ziten“ vieltermigen Produkts oder Aggregates (ohne Π und Σ-zeichen),
vorwiegend Rücksicht nehmen.
Nennen wir ah k gedachten allgemeinen Term! Lässt man in ihm
die laufenden Zeiger (Summations- oder Produktationsvariablen) h und k
je eine aparte Reihe, eventuell Sequenz, von Werten durchlaufen und
schreibt die Werte des gedachten Terms geordnet hin, so erhält man
ein jetzt nicht notwendig quadratisches, vielmehr mit Sicherheit nur
rechteckiges Schema, eine Matrix, und zwar:
a11, a12, a13, a14, …
a21, a22, a23, a24, …
a31, a32, a33, a34, …
. . . . . . . .
falls wir etwa hier jene Wertreihen durch Ziffern repräsentiren.
Dass nun hierbei sowohl Summenzeichen unter sich als auch Pro-
duktzeichen unter sich beliebig umgestellt werden dürfen, und dass ihrer
mehrere in ein einziges derselben Art zusammengezogen, resp. aus
letzterem (wieder) abgesondert werden mögen, dies sprechen für den
einfachsten Fall (den wo nur zwei Zeichen in Betracht kommen) die
Schemata aus:
1)
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Das ist aber in der That durch den kommutativen und assozia-
tiven Charakter der identischen Multiplikation resp. Addition garantirt.
Für die selbständig definirten Aussagen Π und Σ folgt es ohne
weitres nach dem „dictum de omni, et“ — möchten wir hinzufügen —
„de aliquo“ oder „ullo“.
Was von jedem Paare h, k gilt, das gilt bei jedem h für jedes k
und gilt auch bei jedem k für jedes h — und umgekehrt. Desgleichen:
Was für ein gewisses Paar h, k gilt, das gilt auch bei einem ge-
wissen h für ein gewisses k, und bei einem gewissen k für ein ge-
wissen h, sowie umgekehrt. [Nämlich: was bei einem gewissen h für
gewisses k gilt, das gilt auch für ein gewisses Paar h, k. Etc.]
Lassen wir z. B. h die Werte von 1 bis n, k die von 1 bis m durch-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 111. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/125>, abgerufen am 20.02.2025.
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