Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Dritte Vorlesung.

Beweise von 9) des § 6:
[Formel 1] ,
[Formel 2] nach den Festsetzungen und De Morgan’s für Aussagen und Koeffizienten
bereits sicher gestellten Theoremen.

Beweise der Formeln 10) des § 6 — ebenso:
[Formel 3] ,
[Formel 4] .

Beweise von 11) des § 6 — S. 85:
(ab͝)_{i j} = (ab)_{j i} = a_{j i}b_{j i} = b_{j i}a_{j i} = b̆_{i j}ă_{i j} = (b̆ă)_{i j},
(a + b͝)_{i j} = (a + b)_{j i} = a_{j i} + b_{j i} = b_{j i} + a_{j i} = b̆_{i j} + ă_{i j} = (b̆ + ă)_{i j}.

Beweise von 12) des § 6:
(a ; b͝)_{i j} = (a ; b)_{j i} = Σ_ha_{j h}b_{h i} = Σ_hb_{h i}a_{j h} = Σ_hb̆_{i h}ă_{h j} = (b̆ ; ă)_{i j},
(a ɟ b͝)_{i j} = (a ɟ b)_{j i} = Π_h(a_{j h} + b_{h i}) = Π_h(b_{h i} + a_{j h}) = Π_h(b̆_{i h} + ă_{h j}) = (b̆ ɟ ă)_{i j}.

Behufs Beweises der Formeln 13) des § 6 — S. 87 — ist un-
mittelbar nur zu zeigen dass:
(a ⋹ b) = (b̄ ⋹ ā) sowie (a ⋹ b) = (ă ⋹ b̆)
ist. Ersteres folgt, weil wir die Kontraposition mit Aussagen- oder
Koeffizientensubsumtionen vorzunehmen bereits berechtigt sind, im Hin-
blick auf (14) leicht so:
(a ⋹ b) = Π_{i j}(a_{i j} ⋹ b_{i j}) = Π_{i j}[(b_{i j})͞ ⋹ (a_{i j})͞] = Π_{i j}(b̄_{i j} ⋹ ā_{i j}) = (b̄ ⋹ ā).
Letzteres, weil Vertauschung der Produktzeiger gestattet ist, so:
(a ⋹ b) = Π_{i j}(a_{i j} ⋹ b_{i j}) = Π_{j i}(a_{i j} ⋹ b_{i j}) = Π_{i j}(a_{j i} ⋹ b_{j i}) =
= Π_{i j}(ă_{i j} ⋹ b̆_{i j}) = (ă ⋹ b̆).
Aus den beiden hiermit bewiesenen Sätzen folgt nun die letzte oder
dritte Formel 13):
(a ⋹ b) = (b̄̆ ⋹ ā̆)
bequemer mittelbar durch deren „kombinirte“ Anwendung — das soll
hier heissen: durch deren successive Anwendung in irgend einer Folge.

Nachdem mit diesen Sätzen nunmehr die Prinzipien des Dualismus
und der Konjugation, die wir im vorigen Paragraphen auseinander-
gesetzt haben, vollends erhärtet sind, werden wir künftig von jedem
Quadrupel „verwandter“ Formeln nur mehr eine einzige — zumeist die