Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 7. Beweis der Grundgesetze.

barkeit der Glieder einer Aussagensumme bei kolonnenweisem Summiren
der in Zeilen gesetzten Glieder hervorgeht) und wiederum nach (12) und
(10) in rückwärtiger Anwendung dieser (oben vorwärts angewendeten) Fest-
setzungen, q. e. d.

Analog hat man:
{(a + b) ; c}_{i j} = Σ_h(a + b)_{i h}c_{h j} = Σ_h(a_{i h} + b_{i h})c_{h j} = Σ_h(a_{i h}c_{h j} + b_{i h}c_{h j}),
(a ; c + b ; c)_{i j} = (a ; c)_{i j} + (b ; c)_{i j} = Σ_ha_{i h}c_{h j} + Σ_hb_{i h}c_{h j};
aber die rechten Seiten sind gleich, und folglich auch die linken, q. e. d.
Ferner:
(a ɟ bc)_{i j} = Π_h{a_{i h} + (bc)_{h j}} = Π_h(a_{i h} + b_{h j}c_{h j}) = Π_h(a_{i h} + b_{h j})(a_{i h} + c_{h j}),
{(a ɟ b)(a ɟ c)}_{i j} = (a ɟ b)_{i j}(a ɟ c)_{i j} = Π_h(a_{i h} + b_{h j}) · Π_h(a_{i h} + c_{h j}),
wo wieder die beiden Ausdrücke rechts und folglich auch die links über-
einstimmen, q. e. d. Endlich:
(ab ɟ c)_{i j} = Π_h{(ab)_{i h} + c_{h j}} = Π_h(a_{i h}b_{i h} + c_{h j}) = Π_h(a_{i h} + c_{h j})(b_{i h} + c_{h j}) =
= Π_h(a_{i h} + c_{h j}) · Π_h(b_{i h} + c_{h j}) = (a ɟ c)_{i j}(b ɟ c)_{i j} = {(a ɟ c)(b ɟ c)}_{i j},
q. e. d.

Beweis zu 5) des § 6. Erste Formel.

Es ist
L_{i j} = (a ; bc)_{i j} = Σ_ha_{i h}(bc)_{h j} = Σ_ha_{i h}b_{h j}c_{h j} = Σ_ha_{i h}b_{h j} · a_{i h}c_{h j},
R_{i j} = (a ; b · a ; c)_{i j} = (a ; b)_{i j}(a ; c)_{i j} = Σ_ha_{i h}b_{h j} · Σ_ka_{i k}c_{k j}.

Offenbar ist nun L_{i j} ⋹ R_{i j}, weil unter den Gliedern des expandirten
Produktes der beiden letzten Summen die Glieder der darüberstehenden
Summe sämtlich enthalten sind — nämlich als die Partialprodukte aus
deren gleichstelligen Gliedern, jedoch neben noch vielen andern Gliedern,
womit die Subsumtion erwiesen ist — q. e. d.

Zur zweiten Formel hätten wir:
L_{i j} = (a ɟ b + a ɟ c)_{i j} = (a ɟ b)_{i j} + (a ɟ c)_{i j} = Π_h(a_{i h} + b_{h j}) + Π_k(a_{i k} + c_{k j}) =
= Π_{h k}(a_{i h} + b_{h j} + a_{i k} + c_{k j}),
letztres nach dem dualen Gegenstück des Distributionsgesetzes. Dazu:
R_{i j} = {a ɟ (b + c)}_{i j} = Π_h{a_{i h} + (b + c)_{h j}} = Π_h(a_{i h} + b_{h j} + c_{h j}) =
= Π_h(a_{i h} + b_{h j} + a_{i h} + c_{h j})
unter Anwendung des Tautologiegesetzes. Die Vergleichung beider Ergeb-
nisse zeigt, dass alle Faktoren von R_{i j} sich unter denen von L_{i j} vorfinden,
wo sie bei k = h zutage treten. Nach dem Aussagenschema ab ⋹ a ist
nun das faktorenreichere Produkt im andern enthalten, d. h. L_{i j} ⋹ R_{i j}, q. e. d.

Übrigens bedarf man zum Beweise dieses Satzes der Berufung auf
die Koeffizientenevidenz gar nicht. Wegen bc ⋹ b hat man vielmehr
nach 1) des § 6: a ; bc ⋹ a ; b, und wegen bc ⋹ c ähnlich: a ; bc ⋹ a ; c,